exam.jpg

Contoh 1. Misalkan a = supA < \infty dan diberikan sebarang \varepsilon >0. Buktikan bahwa terdapat x \in A memenuhi a-\varepsilon < x. Pembahasan: Kita buktikan dengan menggunakan kontradiksi. Andaikan a-\varepsilon >x untuk setiap x \in A, maka a-\varepsilon adalah batas atas dari A. Jadi dapat dituliskan a \leq a-\varepsilon. Terjadi kontradiksi, jadi pengandaian kita salah, maka haruslah a-\varepsilon < x.

Contoh 2. Tentukan supremum dan infimum dari himpunan

T = \left \{ \sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, ...  \right \}\

Pembahasan: Kita dapat definisikan barisan rekursif

a_{n} = \sqrt{2+a_{n-1}},  a_{0}=0

Misalkan  \lim_{n\rightarrow \infty } a_{n} = L, maka dapat kita lihat

L = \sqrt{2+L}

L^{2}-L-2=0

(L-2)(L+1) = 0

Terpenuhi ketika L=2 dan L=-1. Karenanya 2 merupakan supremum dari T. Selanjutnya, karena a_{n} < a_{n+1} untuk setiap n \in \mathbb{N} , maka a_{n} merupakan barisan menaik, jadi \sqrt{2} merupakan infimum dari T.

Contoh 3. Diberikan himpunan

A = \left \{  \frac{(-1)^{n}}{n}, n \in \mathbb{N} \right \}

Tunjukkan bahwa supA = 1/2 dan infA = -1.

Pembahasan: Jelas bahwa 1/2 merupakan batas atas dari A. Misalkan M>0 merupakan batas atas lain dari A. Kita harus tunjukkan bahwa 1/2 \leq M. Dengan kontradiksi, kita andaikan M< 1/2, maka \frac{(-1)^{n}}{n} \leq M untuk setiap n \in \mathbb{N}. Tetapi jika kita ambil n=2, maka 1/2 \leq M < 2, terjadi kontradiksi. Jadi haruslah 1/2 \leq M, sehingga supA = 1/2. Selanjutnya jelas bahwa -1 merupakan batas bawah dari A. Misalkan m adalah batas bawah lain dari A. Kita akan tunjukkan m \leq -1. Dengan kontradiksi, andaikan m>-1 maka \frac{(-1)^{n}}{n} \geq m. Tetapi jika kita ambil n=1, maka -1 < m \leq -1, terjadi kontradiksi, jadi haruslah m \leq -1, sehingga infA = -1.

Contoh 4. Apa yang dapat kita simpulkan dari himpunan bagian tak kosong dari bilangan riil, katakan A, yang memenuhi sup A = inf A?

Pembahasan: Misalkan A \subseteq \mathbb{R} merupakan himpunan tak kosong yang memenuhi sup A = inf A. Misalkan juga a adalah elemen dari A, maka kita punya pertidaksamaan

sup(A) = inf(A) \leq a \leq sup(A)

sehingga a=sup(A). Karenanya dapat dituliskan

A = \left \{ a \right \} = \left \{ sup(A) \right \}

Jadi dapat kita simpulkan bahwa A merupakan himpunan yang memiliki elemen tunggal, yakni a=sup(A).

Contoh 5. Misalkan S dan T merupakan himpunan bagian tak kosong dari bilangan riil yang terbatas di atas. Jika S \subseteq T, buktikan bahwa supS \leq supT

Pembahasan: Karena S dan T terbatas di atas, maka jelas memiliki supremum. Sekarang misalkan x = supS dan y=supT, dengan menggunakan kontradiksi, kita andaikan y<x. Karena x merupakan merupakan batas atas terkecil dari S, maka tidak mungkin y menjadi batas atas dari S, jadi terdapat s \in S memenuhi y < s \leq x. Tapi karena S \subseteq T, maka terdapat elemen dari T yang lebih besar dari batas atas terkecil T. Terjadi kontradiksi, maka haruslah x \leq y. Artinya supS \leq supT.


Sumber Gambar:

https://www.123rf.com/photo_29717848_stock-vector-a-cartoon-student-celebrates-a-top-a-mark-on-her-exam-.html

Iklan