Rumus Euler dan Interpretasi Geometrinya

Ada satu rumus cantik di dalam bidang kompleks, yaitu Rumus Euler, yang mana namanya diambil dari seorang Matematikawan pada abad ke-18, Leonhard Euler. Untuk mengenal rumus Euler ini, diperlukan pengetahuan lebih lanjut mengenai deret Maclaurin dari fungsi eksponensial dan fungsi trigonometri.

Tinjau kembali deret Maclaurin dari fungsi sinx dan cosx berikut

sinx=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\cdot\cdot\cdot,    -\infty<x<\infty

cosx=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdot\cdot\cdot,    -\infty<x<\infty

Jadi

cosx+isinx=1+ix-\frac{x^{2}}{2!}-i\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdot\cdot\cdot

                                   =1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\cdot\cdot\cdot

                                   =e^{ix}

Persamaan e^{ix}=cosx+isinx dikenal sebagai rumus Euler.

Rumus ini dapat juga kita buktikan tanpa menggunakan bantuan deret Maclaurin. Ingat kembali bentuk polar dari bilangan kompleks z=cosx+isinx, kita turunkan terhadap x menjadi

\frac{dz}{dx}=-sinx+icosx=iz

sehingga

\frac{dz}{z}=idx

selanjutnya integralkan kedua ruas,

\int\frac{dz}{z}=\int idx

In|z|=ix+C

z=e^{ix+C}

Untuk menentukan nilai dari konstanta C, perhatikan bahwa z(0)=e^{C}=1, karenanya haruslah C=0, sehingga didapat

z=e^{ix}=cosx+isinx \blacksquare

Kasus khusus dari rumus ini adalah untuk x=\pi, yang mana menghasilkan

e^{i\pi}=cos\pi+isin\pi =-1+i0=-1

Persamaan e^{i\pi}+1=0 disebut sebagai Identitas Euler, dan disebut-sebut sebagai persamaan matematika paling cantik yang pernah ada.

Interpretasi Geometri dari Rumus Euler

Rumus Euler memberitahu kita tentang hubungan antara bilangan e dengan lingkaran satuan pada bidang kompleks, yang artinya jika e dipangkatkan dengan bilangan imajiner, maka akan menghasilkan suatu titik yang terletak pada lingkaran satuan. Karenanya semua titik yang direpresentasikan oleh e^{ix} akan menelusuri lingkaran satuan tersebut. Nah titik pada lingkaran satuan ini juga dapat kita tuliskan dalam kombinasi sinus dan kosinus cosx+isinx seperti yang sudah diketahui sebelumnya. Lebih jelasnya dapat dilihat dalam gambar berikutanimath 42

Perlu teman-teman ketahui juga, ada beberapa penalaran yang salah mengenai rumus ini, semisal,

e^{2i\pi}=cos2\pi+isin2\pi=1

ln(e^{2i\pi})=ln(1)

kita peroleh 2i\pi=ln(1). Akan tetapi ln(1)=0. Kita simpulkan bahwa

2i\pi=0

Hmm… kira-kira letak kesalahannya dimana ya?

Iklan

4 Comments Add yours

  1. ridhovictor berkata:

    di bagian terakhir kan 2i(pi) = 0 , berarti kan e^(2i(pi)) = e^0 = 1
    e^0 = cos(0) + i.sin(0)
    e^0 = 1 + i.0
    e^0 = 1
    e/e = 1
    1 = 1 (betul)
    yang salah bagian mananya ?

    Suka

    1. ridhovictor berkata:

      ralat : e^i.0 bukan e^0 (tapi sama aja sih jadi e^0)

      Suka

    2. Persamaan 2iπ =0 jelas keliru. Jika pun benar maka kita akan peroleh π=0 atau i=0, terjadi kontradiksi.
      Fungsi eksponen bernilai kompleks merupakan fungsi periodik dengan periode 2iπ. Jadi mesikpun e^{2iπ}=e^{0}, tidak bisa kita lantas menyimpulkan 2iπ=0.
      Sama seperti halnya sin(0)=sin(2π), maka tidak bisa langsung kita simpulkan bahwa 0=2π.

      Salam,
      Arini

      Suka

  2. ridhovictor berkata:

    atau kakak mungkin anggap 2i(pi) disini sebagai angka biasa (dan bukan sebagai sudut perputaran) dan karena itu 2i(pi) = 0 salah ?

    Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s