Persamaan Fungsional dan Solusinya

the_equasion__gianfranco_uber.jpeg

Jika sebelumnya kita pernah belajar menentukan nilai dari variabel x\in\mathbb{R} yang memenuhi persamaan x^{2}-1=0 atau \sqrt{x-1}=2 atau lainnya, maka berbeda halnya dengan persamaan fungsional. Persamaan fungsional merupakan persamaan yang tidak diketahui bentuk fungsinya seperti apa, sehingga yang akan dicari adalah semua fungsi yang memenuhi kondisi yang diberikan. Contoh dari persamaan fungsional yang sudah tidak asing lagi bentuknya adalah f(-x)=-f(x), \forall x\in\mathbb{R}. Fungsi yang memenuhi persamaan tersebut adalah fungsi-fungsi ganjil, seperti f(x)=sinx, f(x)=x, dan lain sebagainya. Beberapa persamaan fungsional yang cukup familiar untuk ditemukan adalah persamaan-persamaan berikut:

  1. f(x+y)=f(x)+f(y); dikenal juga sebagai persamaan fungsional Cauchy.
  2. f(x+y)=f(x)f(y); fungsi yang memenuhi adalah fungsi eksponensial.
  3. f(xy)=f(x)+f(y); fungsi yang memenuhi adalah fungsi logaritmik.
  4. f(h(x))=h(x+1); dikenal sebagai persamaan Abel.
  5. f(h(x))=cf(x); dikenal sebagai persamaan Schröder.
  6. dan lain sebagainya.

Ketika menyelesaikan persamaan fungsional, maka hal pertama yang harus dilakukan adalah mensubstitusikan beberapa nilai x untuk mengetahui karakteristik fungsi dan mendapatkan persamaan yang sesuai. Biasanya nilai-nilai yang disubstitusikan adalah -1,0,1,-y,y. Hal yang perlu diperhatikan lainnya adalah domain dan kodomain dari fungsinya. Karena jika domain dan kodomainnya diubah, maka fungsinya pun akan ikut berubah mengikuti domain dan kodomainnya.

Menentukan Solusi Persamaan Fungsional

  • Metode Substitusi

Contoh soal persamaan fungsional yang paling sederhana diberikan sebagai berikut:

Jika f(x+3)=x^{2}+8x+16, berapakah nilai f(x)?

Untuk menjawabnya, pertama-tama misalkan y=x+3, maka x=y-3. Substitusikan x=y-3 ke persamaan dalam soal untuk menghasilkan

f((y-3)+3)=f(y)=(y-3)^{2}+8(y-3)+16=y^{2}+2y+1

jadi fungsi f(x) yang diharapkan adalah f(x)=x^{2}+2x+1.

  • Pemisahan Variabel

Selain dengan menggunakan metode substitusi, persamaan fungsional juga dapat diselesaikan dengan pemisahan variabel. Contohnya sebagai berikut:

Tentukan semua fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi yf(x)=xf(y), \forall x,y\in\mathbb{R}.

Dalam kasus seperti ini, kita lakukan pemisahan variabel untuk persamaan dalam soal, menjadi

\frac{f(x)}{x}=\frac{f(y)}{y}

Misalkan g(s)=\frac{f(s)}{s}, jadi persamaan di atas dapat dituliskan sebagai

g(x)=g(y), untuk setiap x,y\in\mathbb{R}

Jelas hanya fungsi konstan yang memenuhi kondisi tersebut, jadi g(x) mestilah bernilai konstan, katakanlah bernilai c. Diperoleh

\frac{f(x)}{x}=c

Karenanya fungsi yang diharapkan adalah f(x)=cx, untuk sebarang konstanta c\in\mathbb{R}.

Tentunya ada banyak cara dan trik untuk menemukan solusi dari persamaan fungsional, bergantung pada jenis fungsinya juga. Seperti fungsi siklik, persamaan fungsi dua variabel, dan lainnya yang tidak akan sempat saya bahas di sini.

Sebagai penutup postingan ini, ada beberapa soal menarik dari persamaan fungsional yang saya temukan. Soalnya sebagai berikut:

  1. Jika f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} memenuhi f(f(x))=x^{2}-1,\forall x\in\mathbb{R}, tentukan solusi fungsi f(x) yang memenuhi.
  2. Tentukan semua fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} sehingga f(x+y)-f(x-y)=f(x)f(y).

Sila teman-teman cari jawabannya! 🙂 .


Sumber Gambar:

https://www.cartoonmovement.com/cartoon/45745

Sumber Pustaka:

Functional Equation. Wikipedia. Diakses 11 Mei 2018. [https://en.wikipedia.org/wiki/Functional_equation]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s