Persamaan Fungsional Cauchy

augustin-louis-cauchy-2
Augustin Louis Cauchy

Misalkan f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}. Persamaan berikut

f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in\mathbb{R}

dikenal sebagai persamaan fungsional Cauchy. Setiap fungsi yang menjadi solusi dari persamaan tersebut mestilah memenuhi pernyataan-pernyataan berikut:

  • f(0)=0. Bukti: untuk x=y=0 maka

f(0)=f(0)+f(0)=2f(0)\Rightarrow f(0)=0      (1)

  • f(x) merupakan fungsi ganjil sehingga memenuhi f(-x)=-f(x). Bukti: berdasarkan persamaan (1) diperoleh

0=f(0)=f(x+(-x))=f(x)+f(-x)

          jadi f(x) merupakan fungsi ganjil, sebab

f(-x)=-f(x), \forall x\in\mathbb{R}     (2)

  • Tinjau persamaan berikut

f(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots+x_{n})=f(x_{1})+f(x_{2})+f(x_{3})+\cdots+f(x_{n})       (3)

          jika x_{i}=x, i=1,2,3,\cdots,n, maka persamaan (3) menjadi

f(nx)=nf(x), \forall n\in\mathbb{N}        (4)

Pada tahun 1821, persamaan fungsional Cauchy dari \mathbb{R} ke \mathbb{R} tersebut telah dibuktikan oleh Cauchy hanya memiliki solusi fungsi kontinu dengan bentuk f(x)=cx, di mana c sebarang konstanta. Setiap fungsi yang menjadi solusi dari persamaan fungsional Cauchy disebut sebagai fungsi aditif. Lebih lanjut perhatikan proposisi di bawah ini:

Misalkan f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} merupakan fungsi kontinu yang memenuhi

f(x+y)=f(x)+f(y)

Maka haruslah f(x)=cx, untuk sebarang konstanta c.

Berdasarkan persamaan (1), (2), (3) dan (4), akan dibuktikan bahwa solusi fungsi kontinu yang memenuhi f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in\mathbb{R} adalah fungsi linier f(x)=cx dengan memperhatikan beberapa kasus berikut:

Kasus x bilangan asli; berdasarkan persamaan (3) dan (4) diperoleh

f(x)=f(\underset{x}{\underbrace{1+1+1+\cdots+1}})=\underset{x}{\underbrace{f(1)+f(1)+f(1)+\cdots+f(1)}}=xf(1)

Misalkan c=f(1), maka solusi dari persamaan fungsional f(x+y)=f(x)+f(y) adalah f(x)=cx, \forall x\in\mathbb{N}.

Kasus x bilangan rasional positif; pertama akan kita tunjukkan bahwa f(1)=xf(\frac{1}{x}), \forall x\in\mathbb{N}

f(1)=f(\underset{x}{\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\cdots+\frac{1}{x})}}=\underset{x}{\underbrace{f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{x})+\cdots+f(\frac{1}{x})}}=xf(\frac{1}{x})

selanjutnya perhatikan bahwa

f(\frac{y}{x})=f(\underset{y}{\underbrace{\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\cdots+\frac{1}{x})}}=\underset{y}{\underbrace{f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{x})+f(\frac{1}{x})+\cdots+f(\frac{1}{x})}}=yf(\frac{1}{x})=\frac{y}{x}f(1)

misalkan c=f(1), jadi

f(\frac{y}{x})=\frac{y}{x}c, \forall (x,y)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}

sehingga f(x)=cx, \forall x\in\mathbb{Q^{+}}.

Kasus x bilangan real negatif; misalkan x=-y untuk setiap bilangan real y>0. Berdasarkan persamaan (2) diperoleh

f(x)=f(-y)=-f(y)=-cy=c(-y)=cx, \forall x\in\mathbb{R^{-}}

Kasus x sebarang bilangan real; misalkan p,q\in\mathbb{Z} dengan q\neq 0. Tinjau bahwa

f(x)=f(q\cdot\frac{1}{q}x)=qf(\frac{1}{q}x)

Sekarang misalkan y=\frac{x}{q}, maka diperoleh

f(\frac{p}{q}x)=f(p.\frac{x}{q})=f(py)=pf(y)=pf(\frac{1}{q}x)=\frac{p}{q}f(x)

Jadi untuk sebarang a=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q} maka f(ax)=af(x). Selanjutnya misalkan (a_{n}) merupakan barisan bilangan rasional yang konvergen ke bilangan real r. Karena f fungsi kontinu, maka \lim_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}x)=f(rx). Di lain pihak kita punya a_{n} bilangan rasional, jadi \lim_{n\rightarrow\infty} f(a_{n}x)=\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}f(x)=rf(x). Karena untuk setiap bilangan real r terdapat barisan bilangan rasional yang konvergen ke r, maka dapat dituliskan

f(rx)=rf(x), \forall r\in\mathbb{R}

Selanjutnya substitusikan x=1, menghasilkan

f(r)=rf(1)=cr, dengan c=f(1)

Jadi terbukti bahwa f(x)=cx untuk setiap x\in\mathbb{R}.

Catatan: Adapun beberapa kondisi atau asumsi yang lebih lemah dari Cauchy, yang mana diberikan oleh Darboux. Darboux menunjukkan bahwa hipotesa kontinu milik Cauchy bisa digantikan menjadi kontinu di satu titik saja.


Sumber Pustaka:

Cauchy Functional Equation. Wolfram MathWorld. Diakses 13 Mei 2018. [http://mathworld.wolfram.com/CauchyFunctionalEquation.html]

Sumber Gambar:

https://www.thefamouspeople.com/profiles/augustin-cauchy-588.php

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s