Fungsi yang Kontinu di Satu Titik Mengimplikasikan Kontinu di ℝ

kontinu di satu titik.JPG

Perhatikan kembali persamaan fungsional Cauchy berikut

f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in\mathbb{R}

Ada satu sifat menarik dari fungsi f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} yang memenuhi persamaan di atas, yaitu

Jika f kontinu di a, maka f kontinu di setiap c\in\mathbb{R}

Bukti: misalkan f kontinu di titik a sehingga memenuhi \lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a) dan untuk setiap x,y\in\mathbb{R} berlaku f(x+y)=f(x)+f(y). Akan kita tunjukkan untuk sebarang c\in\mathbb{R} maka \lim_{x\rightarrow c}f(x)=f(c).

Pertama-tama tinjau persamaan berikut

\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow a} f(x-a+c)

dapat dikatakan bahwa x akan dekat dengan a jika dan hanya jika x-a+c dekat dengan c, atau bisa kita tuliskan |x-a|=|(x-a+c)-c|. Dari sini dapat dengan mudah diperoleh

\lim_{x\rightarrow c}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}f(x-a+c)

                               =\lim_{x\rightarrow a}[f(x)+f(c-a)]

                               =\lim_{x\rightarrow a}f(x)+\lim_{x\rightarrow a}f(c-a)

                               =f(a)+f(c-a)

                               =f(a+(c-a))

                               =f(c)

Karena c merupakan sebarang bilangan real, jadi terbukti bahwa jika f kontinu di suatu titik a maka f kontinu di setiap c\in\mathbb{R}. \blacksquare

Catatan: Masalah ini pernah muncul di dalam soal MaG-D ITB tahun 2017, loh!

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s