Suatu hari Pierre de Fermat memperhatikan bilangan yang memiliki bentuk 2^{2^{n}}+1 (menyerupai bilangan Mersenne), seperti 2^{2^{0}}+1=3 dan 2^{2^{1}}+1=5, yang mana merupakan bilangan prima. Serupa dengan itu, 2^{2^{2}}+1=17 dan 2^{2^{3}}+1=257 juga merupakan bilangan prima. Lebih umum lagi, 2^{2^{n}}+1 merupakan bilangan prima untuk n=0,1,2,3,4. Semua bilangan yang dapat dibentuk menjadi F_{n}=2^{2^{n}}+1 dikenal sebagai bilangan Fermat, dan jika bilangan tersebut prima maka disebut sebagai prima Fermat. Konjektur Fermat terkait bilangan prima ini berkata bahwa

Semua bilangan yang berbentuk 2^{2^{n}}+1 merupakan bilangan prima

Namun pada tahun 1732, tepatnya setelah kematian Fermat, Leonhard Euler menyatakan konjektur tersebut salah untuk n=5, yakni F_{5}=2^{2^{5}}=4.294.967.297 yang ternyata habis dibagi 641.

INFINITY WAR.JPG

Kegagalan pada konjektur Fermat ini berlanjut kembali untuk 5\leq n\leq 32. Sementara bilangan Fermat yang baru diketahui merupakan bilangan prima hanyalah F_{0},F_{1},F_{2},F_{3} dan F_{4}. Apa yang terjadi dengan F_{33} dan bilangan-bilangan setelahnya? sejauh ini sangat sulit untuk menentukan F_{33},F_{34},F_{35},\cdots, apakah merupakan bilangan prima ataukah komposit, dikarenakan digitnya yang terlalu besar sehingga komputer high class pun belum mampu menghitungnya.

Dari sisi geometrinya sendiri, bilangan Fermat 2^{2^{n}}+1 dapat kita pandang sebagai sebuah persegi yang memiliki panjang sisi 2^{2^{n-1}} ditambah dengan persegi satuan (persegi dengan panjang sisi 1 satuan). Contohnya adalah F_{1}=5 yang memiliki interpretasi geometri sebagai berikut:

F1.JPG

Pernyataan ‘apakah bilangan Fermat F_{n} komposit ataukah prima’ setara dengan pernyataan ‘apakah kita dapat mengatur ulang semua blok-blok persegi satuan menjadi sebuah bangun persegi panjang ataukah tidak’. Semisal bilangan Fermat F_{2} yang memiliki interpretasi geometri berikut:

F2.JPG

Karena setiap blok-blok persegi satuan pada F_{2} tidak dapat disusun menjadi sebuah bangun datar persegi panjang, maka F_{2} merupakan bilangan prima.

Masalah yang berkaitan dengan bilangan prima selalu menimbulkan misteri tersendiri, contohnya beberapa pertanyaan muncul terkait bilangan Fermat ini:

  • Apakah F_{n} bilangan komposit untuk setiap n>4?
  • Apakah bilangan prima Fermat ada tak terhingga banyaknya?
  • Apakah bilangan komposit Fermat ada tak terhingga banyaknya?

Sayangnya hingga saat ini pertanyaan-pertanyaan tersebut belum mampu dipecahkan oleh matematikawan dunia. Siapa tahu di antara teman-teman pembaca di sini ada yang tertarik untuk menjawabnya? sila dicoba! 🙂


Sumber Pustaka:

Fermat Number. Wikipedia. Diakses 30 Mei 2018. [https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_number]

Tsang, Cindy. (2010). Fermat Numbers. University of Washington.

Sumber Gambar:

Euler [https://www.gettyimages.com/detail/illustration/leonhard-euler-swiss-mathematician-wood-royalty-free-illustration/492598373]

Fermat [https://www.mirror.co.uk/news/technology-science/technology/pierre-de-fermat-10-things-185140]

Iklan