Jika sebelumnya kita pernah belajar mengenai n! (dibaca: n faktorial) yang didefinisikan sebagai n!=n(n-1)(n-2)\cdots 3.2.1, maka pada materi tingkat lanjut, kita akan berkenalan dengan faktorial ganda atau semifaktorial yang disimbolkan dengan n!!. Apa itu faktorial ganda dan bagaimana cara kerjanya?

faktorial ganda.JPG

Faktorial ganda dari suatu bilangan bulat positif n merupakan perkalian dari semua bilangan bulat dari 1 sampai n yang memiliki paritas (genap atau ganjil) yang sama seperti n, yakni

  • n!!=1, untuk n=0;
  • n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 6.4.2, untuk setiap bilangan genap n>0;
  • n!!=n(n-2)(n-4)\cdots 5.3.1, untuk setiap bilangan ganjil n>0;

Nah, perlu diperhatikan bahwa faktorial ganda n!! tidak sama nilainya dengan (n!)!. Contohnya, (3!)!=6!=720 akan tetapi 3!!=3.1=3. Jadi bisa dikatakan nilai dari (n!)! akan tumbuh lebih cepat daripada n!!. Adapun kaitan antara faktorial ganda dengan faktorial biasa dapat kita temukan dengan memandang

(2n+1)!=(2n+1)(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)(2n-4)\cdots 3\cdot 2\cdot 1

=[(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot1][2n(2n-2)(2n-4)\cdots 2\cdot 1]

=[(2n+1)(2n-1)(2n-3)\cdots 3\cdot1](2n)[2(n-1)][2(n-2)]\cdots 2\cdot 1

=(2n+1)!!2^{n}n!.

Jadi dapat dituliskan (2n+1)!!=\frac{(2n+1)!}{2^{n}n!}, untuk n=0,1,2,3,\cdots. Dengan cara yang serupa juga dapat diperoleh

(2n)!!=(2n)(2n-2)(2n-4)\cdots 4\cdot 2

=[2(n)][2(n-1)][2(n-2)][2(n-4)]\cdots 2(2)\cdot 2(1)

=2^{n}n!, untuk n=0,1,2,\cdots.

Sekarang jika bertanya, “kapan sih faktorial ganda ini digunakan?”, maka jawabannya bisa digunakan kapan saja selama kita menemukan perkalian yang berbentuk

1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdots (2n-1)=(2n-1)!!.

atau

2\cdot 4\cdot 6\cdot 8\cdots 2n=(2n)!!

atau yang serupa dengan itu. Di dalam kasus lain kita membutuhkan representasi dalam bentuk faktorial ganda untuk menyederhanakan masalah yang cukup kompleks. Contohnya seperti representasi fungsi error dalam bentuk deret yang memuat faktorial ganda berikut

\sqrt{\frac{e\pi}{2}}erf(\frac{1}{\sqrt{2}})=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)!!}

di mana erf(x)=\int_{-x}^{x}e^{-t^{2}}dt. Contoh lainnya dapat kita temukan di dalam rumus Wallis yang sudah kita kenal, yakni

\int_{0}^{\pi/2} \cos^{n}x dx=\int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}x dx=\frac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\alpha

dengan \alpha =\frac{\pi}{2} jika n genap, dan \alpha =1 jika n ganjil.

 

Iklan