Matematika di Balik Seni Prentententoonstelling

Anda mungkin membutuhkan dua atau tiga kali pengulangan untuk membaca kata prentententoonstelling, ya, karena saya pun begitu kesulitan mengejanya, ugh! Kata yang memang kurang familiar ini tidak akan kita temukan di dalam kamus besar bahasa Inggris semacam Oxford Dictionaries. Sebab prentententoonstelling merupakan istilah dalam bahasa Belanda yang menunjukkan suatu karya litograf cetak dari seniman Belanda, Maurits Cornelis Escher (1898-1972). Apa yang menarik dari karyanya tersebut? Jawabannya terletak pada struktur visual yang ia gunakan, dipenuhi dengan bumbu-bumbu matematika!

Pada tahun 2003, sekolompok matematikawan yang dipimpin oleh Prof. Hendrik Lenstra dari Universitas Leyden telah berhasil memecahkan teka-teki struktur visual yang digunakan oleh Escher. Ringkasan metode yang mereka temukan kemudian dipublikasikan ke dalam sebuah paper, dan tentu, banyak orang yang memujinya. Bagaimana metode Lenstra ini bekerja untuk mentransformasikan sebuah gambar? Berikut saya paparkan secara singkat algoritmanya:

Pertama; transformasi menggunakan log(z)

Agar mudah memahaminya, pertama bayangkan sebuah lingkaran konsentris dalam bidang kompleks seperti gambar di bawah ini

lingkaran konsentris
Gambar 1. Lingkaran konsentris

Perhatikan bahwa z\mapsto log(z) akan mentransformasikan suatu bidang dari -\infty sampai \infty sepanjang sumbu real yang lebarnya 2\pi. Hasil dari transformasi ini adalah sebuah bidang datar berbentuk persegi panjang, yang akan merepresentasikan hasil transformasi dari lingkaran konsentris sebelumnya.

bangun persegi panjang
Gambar 2

Kedua; rotasi dan penyusutan

Persegi panjang hasil transformasi sebelumnya kemudian diputar sampai diagonalnya berpotongan dengan sumbu imajiner dan diagonalnya menyusut menurut fungsi f(z)=zfe^{i\alpha}, dengan f=\cos(\alpha) dan \alpha=arctan(\frac{log(r_{2}/r_{1})}{2\pi})

rotasi
Gambar 3

Ketiga; transformasi eksponensial

Persegi panjang hasil transformasi pada tahap kedua kemudian dieksponentasi dengan f(z)=e^{z}. Kini semua sisi persegi panjang tersebut berubah menjadi spiral. Perhatikan bahwa titik A dengan titik A' sekarang saling bersinggungan.

eksponensasi
Gambar 4

Keempat; replikasi

Kembali pada langkah kedua. Sekarang kita duplikasi persegi panjang tersebut untuk memperoleh gambar berikut

replikasi
Gambar 5

dengan persegi panjang E merupakan persegi panjang asli (pada langkah kedua). Kemudian kita lakukan transformasi seperti pada langkah ketiga, sehingga didapat rancangan

eksponentasi 2
Gambar 6

Perhatikan bahwa persegi panjang E ditransformasikan (seperti pada tahap ketiga) menjadi daerah E pada Gambar 6. Begitu pun persegi panjang G dan H yang juga ditransformasikan menjadi daerah E pada Gambar 6. Untuk  persegi panjang F akan ditransformasikan menjadi daerah F pada Gambar 6. Jadi ada tak hingga replikasi dari gambar asli yang akan ditransformasikan menjadi bentuk spiral yang mulus.

Di dalam Photoshop, kita juga bisa menggunakan efek seperti ini ke dalam sebuah foto sehingga menghasilkan ilusi optik yang mampu memanjakan mata.

time.jpg


Sumber Pustaka:

Leys, Jos. 2008. The Mathematics Behind Droste Effect (A Logarithmic Image Transformation). Diakses 09 Juli 2018.
[http://www.josleys.com/article_show.php?id=82]

Sumber Gambar:

http://escherdroste.math.leidenuniv.nl/index.php

https://www.ednagallery.com/Orcas-Island-Stuff/Edna-Gallery-Art/Single-Edition-Prints/i-jB7f63f

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s