Superelips (Kurva Lamé)

SUPERELIPS.JPG

Ketika mempelajari irisan kerucut, kita dikenalkan dengan kurva elips yang berpusat di titik asal yang mana memiliki persamaan

(\frac{x}{a})^{2}+(\frac{y}{b})^{2}=1

dengan |a| merupakan jarak horizontal dari titik pusat terhadap grafik, dan |b| merupakan jarak vertikal dari titik pusat terhadap grafik. Contohnya

(\frac{x}{3})^{2}+(\frac{y}{2})^{2}=1

elips 1.JPG

Akan tetapi, pernahkah kita membayangkan bagaimana bentuk kurva dari persamaan elips dengan pangkat yang lebih kecil atau bahkan lebih besar lagi? Semisal, untuk persamaan (\frac{x}{3})^{2/3}+(\frac{y}{2})^{2/3}=1, kita akan mendapati bentuk kurvanya sebagai berikut

elips 2.JPG

Jika pangkatnya dibuat lebih kecil lagi, maka

(\frac{x}{3})^{4/25}+(\frac{y}{2})^{4/25}=1

elips 3

Bentuk kurvanya akan semakin menyerupai bintang atau palang +. Bagaimana jika pangkatnya lebih besar dari 2?

(\frac{x}{3})^{4}+(\frac{y}{2})^{4}=1

elips 4

Bentuk kurvanya akan menyerupai segilingkar, ya kan? Selanjutnya kita lihat kembali untuk pangkat yang lebih besar lagi,

(\frac{x}{3})^{20}+(\frac{y}{2})^{20}=1

elips 5.JPG

Sekarang bentuk kurvanya menyerupai persegi panjang! Nah, kurva-kurva yang menyerupai bintang dan persegi panjang tersebut dikenal dengan nama superelips. Secara umum, persamaan dari superelips diberikan sebagai

(\frac{x}{a})^{m}+(\frac{y}{b})^{m}=1

di mana a dan b keduanya bilangan riil positif tak nol, serta m merupakan bilangan rasional yang memenuhi

m=\frac{p}{q}>0

dengan p bilangan genap positif dan q bilangan ganjil positif.

Perhatikan bahwa untuk kasus m=2 dan a=b, maka diperoleh persamaan lingkaran. Untuk kasus m yang cukup besar, m\rightarrow\infty, maka kurva dari superelips akan mengambil bentuk persegi panjang, Dan untuk kasus m yang cukup kecil, m\rightarrow 0, maka kurva superelips akan mengambil bentuk palang.

elips 6.JPG

Superelips merupakan kasus khusus dari kurva Lamé, di mana nilai m dapat berupa bilangan rasional positif. Kurva Lamé diambil dari nama seorang matematikawan berkebangsaan Prancis, Gabriel Lamé, yang mana pertama kali mempelajari kurva tersebut pada awal abad ke-19.


Sumber Gambar

Superman [https://www.deviantart.com/mikemahle/art/Superman-162098409]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s