Luas Daerah Superelips

elips 8
Sumber: wolframalpha.com

Tinjau kembali persamaan superelips berikut

(\frac{x}{a})^{m}+(\frac{y}{b})^{m}=1

Sekarang selesaikan persamaan tersebut untuk y, sehingga didapat

y=b(1-(\frac{x}{a})^{m})^{\frac{1}{m}}

Untuk menentukan luas daerah di dalam kurva superelips, kita cukup menentukan luas daerah yang terletak di kuadran pertama, kemudian mengalikannya dengan empat.

elips 9.JPG

Oleh sebab itu, daerah integrasinya dapat disusun sebagai berikut

A=4b\int_{0}^{a} (1-(\frac{x}{a})^{m})^{\frac{1}{m}}dx

Dengan mensubstitusikan u=\frac{x}{a} dan du=\frac{1}{a}dx, maka integral di atas menjadi

4ab\int_{0}^{1} (1-u^{m})^{\frac{1}{m}}du

Selanjutnya lakukan kembali substitusi. Misalkan t=1-u^{m}, maka diperoleh dt=-m(1-t)^{1-\frac{1}{m}} du. Sekarang susunan integralnya menjadi

\frac{4ab}{m}\int_{0}^{1} t^{\frac{1}{m}}(1-t)^{\frac{1}{m}-1}dt=\frac{4ab}{m}B(\frac{1}{m}+1,\frac{1}{m})

di mana B(\frac{1}{m}+1,\frac{1}{m}) merupakan fungsi Beta. Sampai di sini, kita sudah menentukan luas superelips, yakni \frac{4ab}{m}B(\frac{1}{m}+1,\frac{1}{m}). Akan tetapi bentuk tersebut masih dapat diubah kembali ke dalam bentuk lain, dengan menimbang hubungan antara fungsi Beta dengan fungsi Gamma (baca di sini). Berdasarkan kaitan antara fungsi Beta dengan fungsi Gamma, kita peroleh persamaan

\frac{4ab}{m}B(\frac{1}{m}+1,\frac{1}{m})=\frac{4ab}{m}\frac{\Gamma(\frac{1}{m}+1)\Gamma(\frac{1}{m})}{\Gamma(\frac{2}{m}+1)}

Dengan menggunakan beberapa sifat pada fungsi Gamma, kita dapat menuliskan penyebutnya sebagai

\Gamma(\frac{2}{m}+1)=4^{\frac{1}{m}}\frac{\Gamma(\frac{1}{m}+\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{m}+1)}{\sqrt{\pi}}

dan juga

\frac{\Gamma(\frac{1}{m})}{m}=\Gamma(\frac{1}{m}+1)

Jadi

\frac{4ab}{m}B(\frac{1}{m}+1,\frac{1}{m})=4^{1-\frac{1}{m}}ab\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{1}{m}+1)}{\Gamma(\frac{1}{2}+\frac{1}{m})}

Ugh! Formula yang cukup memusingkan mata! Meskipun begitu, persamaan di atas akan memudahkan kita ketika mencari luas dari superelips. Misalnya saja ketika ingin menghitung luas elips yang memiliki persamaan

(\frac{x}{a})^{2}+(\frac{y}{b})^{2}=1

Berdasarkan rumus yang didapat sebelumnya, maka

A=4^{\frac{1}{2}}ab\sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{3}{2})}{\Gamma(1)}=ab\pi

Bagaimana cara menentukan nilai dari fungsi Gamma tersebut? Kita bisa menentukannya berdasarkan persamaan

\Gamma(\frac{n}{2})=\frac{2^{1-n}\sqrt{\pi}(n-1)!}{(\frac{n-1}{2})!}, untuk setiap n\in\mathbb{N^{+}}

atau cukup melihat tabel nilai fungsi Gamma di sini.

 

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s