Segitiga dengan Luas Terbesar

segitiga yeah.JPG

Jika diberikan segitiga siku-siku, segitiga sembarang, segitiga sama kaki, dan segitiga sama sisi dengan panjang keliling yang sama besarnya, maka segitiga manakah yang memiliki luas paling besar? Kita coba untuk menebaknya terlebih dahulu. Tebakan awal saya adalah segitiga dengan besar ketiga sudutnya sama dan masing-masing bernilai <90^{o}. Nah, segitiga apa yang Anda pikirkan? Mari kita cari tahu jawabannya!

Misalkan a,b,c merupakan sisi-sisi pada segitiga. Berdasarkan rumus Heron, luas segitiga dapat dituliskan sebagai

Luas segitiga = \Delta =\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}

di mana s merupakan panjang setengah keliling pada segitiga (semiperimeter), yakni s=\frac{a+b+c}{2}. Dari sini juga didapat persamaan

\Delta^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c)

Tujuan kita selanjutnya adalah memaksimumkan luas segitiga tersebut. Salah satu senjata ampuh yang bisa digunakan adalah dengan menerapkan ketaksamaan AM-GM. Perhatikan bahwa

\frac{(s-a)+(s-b)+(s-c)}{3}\geq [(s-a)(s-b)(s-c)]^{1/3}

\frac{3s-(a+b+c)}{3}\geq [(s-a)(s-b)(s-c)]^{1/3}

Karena 2s=a+b+c dan \frac{\Delta^{2}}{s}=(s-a)(s-b)(s-c), maka

\frac{3s-2s}{3}\geq (\frac{\Delta^{2}}{s})^{1/3}

(\frac{s}{3})^{3}\geq\frac{\Delta^{2}}{s}

\frac{s^{4}}{27}\geq\Delta^{2}

\Delta\leq \frac{s^{2}}{3\sqrt{3}}

Kita peroleh luas maksimum dari segitiga tersebut adalah sebesar \frac{s^{2}}{3\sqrt{3}}. Ini terpenuhi jika dan hanya jika (s-a)=(s-b)=(s-c), atau haruslah a=b=c. Jadi segitiga dengan luas paling besar akan terpenuhi jika panjang ketiga sisinya sama besar. Dan segitiga yang dimaksud merupakan segitiga sama sisi.

Voila~ Tebakan saya di awal ternyata memenuhi! Bagaimana dengan tebakan Anda, apa benar juga? 🙂


Sumber Gambar

\https://www.youtube.com/watch?v=U-ANBNn_D_A

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s