Deret Grandi; Deret Divergen yang Memiliki Jumlah

grandi
Dom Guido Grandi

Masalah yang sering menimbulkan kontradiksi biasanya berkaitan dengan konsep ketakterhinggan. Misalnya saja pada deret tak terhingga berikut ini

S=1-1+1-1+1-1+\cdots

Deret tersebut jelas divergen, sebab barisan jumlah parsialnya, yakni \left\{1,0,1,0,1,\cdots\right\}, tidak konvergen karena nilainya berselang-seling di sekitar 0 dan 1. Namun jika suku-suku pada deret tersebut kita kelompokkan menjadi seperti berikut

S=(1-1)+(1-1)+(1-1)+\cdots

S=0+0+0+\cdots

Maka jumlah deretnya adalah S=0. Akan tetapi jika kita kelompokkan kembali dengan jalan yang berbeda, yakni

S=1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\cdots

S=1+0+0+0+\cdots

Maka sekarang deretnya memiliki jumlah S=1. Menariknya lagi, kita juga dapat membuat deret tersebut memiliki jumlah S=1/2. Lho, kok bisa? Perhatikan bahwa

1-S=1-(1-1+1-1+1\cdots )=1-1+1-1+\cdots=S

2S=1

Jadi diperoleh S=1/2.

Deret yang sedang kita bicarakan ini dikenal dengan nama deret Grandi, yang mana dipelajari oleh seorang biarawan berkebangsaan Italia, Dom Guido Grandi, pada tahun 1703 dan ditulis dalam buku berjudul Quadratura circula et hyperbolae per infinitas hyperbolas geometrice exhibita. Selain masalah deret Grandi, ia juga dikenal dengan karyanya yang berjudul Flores Geometrici (1728) dan kurva mawar yang ia pelajari.

Pada tahun 1703, Grandi mengirimkan salinan buku Quadratura kepada Leibniz, namun pada saat itu sepertinya Leibniz tidak tertarik untuk mempelajari deret Grandi ini. Akan tetapi sekitar tahun 1710, ia berdiskusi dengan matematikawan lainnya terkait deret Grandi. Apa yang dapat Leibniz simpulkan?

Leibniz setuju bahwa 1-1+1-1+\cdots =1/2, karena persamaan tersebut dapat dibuktikan secara geometri (baca di sini). Ia juga berpikir bahwa dengan memandang deret tak terhingga

1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots =\frac{1}{1+x}

yang mana persamaan tersebut berlaku untuk setiap bilangan riil |x|<1, maka dengan memandang hukum kekontinuan, persamaan di atas juga berlaku untuk x=1. Jadi dengan mensubstitusikan nilai x=1, maka diperoleh

1-1+1-1+1-1+\cdots =\frac{1}{2}

Namun di kemudian hari, Leibniz menyatakan bahwa harus ada seseorang yang dapat menenunjukkan deret Grandi memiliki jumlah 1/2 tanpa menggunakan ekspresi \frac{1}{1+x} seperti yang ia lakukan. Karena tertarik untuk memecahkannya sendiri, akhirnya ia mulai berpikir untuk menggunakan kaidah di dalam teori peluang.

Perhatikan deret 1-1+1-1+\cdots yang secara intuisi hanya mungkin memiliki jumlah 1 atau 0. Jadi sangat tidak beralasan jika deret Grandi memiliki jumlah selain dua kemungkinan nilai tersebut. Berdasarkan teori peluang, kita harus mengambil rata-rata aritmatika dari kedua bilangan 1 dan 0, yakni \frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}. Jadi jumlah deret Grandi adalah \frac{1}{2}. Alasan yang diberikan oleh Leibniz ini memang terkesan gegabah. Walaupun memiliki jalan penyelesaian yang berbeda dengan matemaikawan lainnya, namun Euler dengan menggunakan transformasi nya berhasil menunjukkan bahwa deret Grandi memiliki jumlah 1/2. Pendapat Euler pun diperkuat oleh de Morgan.

Menurut argumen teman-teman sendiri, berapa seharusnya jumlah deret Grandi yang mungkin? 🙂


Sumber Pustaka

History of Grandi’s Series. Wikiwand. Diakses 05 Agustus 2018. [http://www.wikiwand.com/en/History_of_Grandi’s_series]

Sumber Gambar

Dom Guido Grandi [https://en.wikipedia.org/wiki/Luigi_Guido_Grandi]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s