Jumlah Cesàro

ErnestoCesaro
Ernesto Cesàro

Misalkan (a_{n}) merupakan suatu barisan dan s_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots +a_{k} adalah jumlah parsial dari deret \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}. Deret \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} dikatakan memiliki jumlah Cesàro S\in\mathbb{R} jika nilai rata-rata dari jumlah parsial s_{k} mendekati S, dituliskan

\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} s_{k}=S

Jadi dapat kita simpulkan bahwa jumlah Cesàro dari deret tak terhingga merupakan rata-rata aritmatika dari jumlah parsial ke-n deret tersebut ketika n\rightarrow\infty.

Untuk melihat contoh sederhana dari jumlah Cesàro, kita dapat pandang deret Grandi yang telah dibahas di dalam postingan sebelumnya. Diberikan deret Grandi sebagai berikut

\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}=1-1+1-1+\cdots

dengan a_{n}=(-1)^{n}, n\geq 0. Barisan jumlah parsialnya didefinisikan sebagai (s_{n})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}, yang mana merupakan barisan divergen. Akibatnya deret Grandi merupakan deret yang divergen, akan tetapi masih dapat kita hitung jumlah Cesàro nya. Kita definisikan t_{n} sebagai rata-rata dari barisan jumlah parsial (s_{n}), yaitu

t_{n}= \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} s_{k}

Kita dapat lihat bahwa

\sum_{k=1}^{n} s_{k}=\begin{cases}\frac{n+2}{2}, & n=genap\\ \frac{n+1}{2},& n=ganjil\end{cases}

Jadi

t_{n}=\begin{cases}\frac{1}{2}(1+\frac{1}{n+1}), & n=genap\\ \frac{1}{2},& n=ganjil\end{cases}

Ketika n\rightarrow\infty, maka

\lim_{n\rightarrow\infty} t_{n}=\frac{1}{2}

Karenanya jumlah Cesàro dari deret Grandi adalah sebesar \frac{1}{2}.


Sumber Gambar

Ernesto Cesàro [https://en.wikipedia.org/wiki/Ernesto_Ces%C3%A0ro]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s