Apa itu L0-norm, L1-norm dan L2-norm?

norms-colorized.jpg

Jika Anda membaca artikel atau paper di ranah aljabar linier atau analisis fungsional, maka akan sering dijumpai istilah norm di dalamnya. Singkatnya, norm dapat diartikan sebagai jarak atau panjang. Jadi ketika kita berbicara mengenai norm di dalam bilangan real, maka kita berbicara tentang jarak atau nilai mutlak dari bilangan real. Jika di dalam ruang vektor, maka norm suatu vektor adalah panjang dari vektor tersebut. Nah, untuk ruang yang memiliki dimensi lebih, maka norm didefinisikan sebagai suatu fungsi yang memenuhi sifat-sifat tertentu (yang mana merupakan perumuman dari konsep nilai mutlak dari bilangan real). Jelasnya, jika diberikan ruang vektor V atas lapangan F, maka suatu fungsi \left\|\cdot\right\|: V\rightarrow\mathbb{R} disebut norm jika untuk setiap skalar a\in F dan x,y\in V memenuhi

  1. \left\|x\right\|\geq 0 dan \left\|x\right\|=0 jika dan hanya jika x=0;
  2. \left\|cx\right\|=|c|\left\|x\right\|;
  3. \left\|x+y\right\|\leq \left\|x\right\|+\left\|y\right\| (Ketaksamaan segitiga).

Pada dasarnya norm memiliki banyak bentuk dan nama tersendiri. Contoh yang paling sering kita dengar adalah jarak Euclid, yakni jarak dari dua titik P(x_{1},y_{1}) dan Q(x_{2},y_{2}) pada koordinat Kartesius, yang diberikan oleh persamaan d=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}. Perhatikan bahwa jarak Euclid (d) memenuhi ketiga sifat di atas.

Di dalam ruang vektor, sering kita jumpai notasi \left\|\textbf{x}\right\|, untuk \textbf{x} suatu vektor di R^{n}, yang mendefinisikan panjang dari vektor \textbf{x} dan dikenal juga sebagai norm Euclid. Contohnya jika diberikan vektor x_{1}=(1,2,3), maka \left\|x_{1}\right\|=\sqrt{1^{2}+2^{2}+3^{2}}=\sqrt{14}, yang mana menjelaskan ukuran dari vektor x_{1}. Adapun istilah lain dari norm Euclid adalah l_{2}- norm. Lengkapnya, l_{p}- norm dari x secara formal didefinisikan sebagai

\left\|x\right\|_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i}|x_{i}|^{p}},  di mana p\in\mathbb{R}

Jadi kita akan temui bentuk-bentuk norm seperti l_{0}- norm, l_{1}- norm, l_{2}- norm, hingga l_{\infty}- norm. Menariknya, meskipun setiap l_{p}- norm memiliki bentuk yang mirip, namun sifat matematis mereka sangat jauh berbeda, begitu pun dengan kegunaannya. Berikut saya paparkan menganai l_{p}- norm satu per satu.

l_{0}- norm

Berdasarkan definisi l_{p}- norm yang dipaparkan di atas, maka l_{0}- norm dari x diberikan oleh persamaan

\left\|x\right\|_{0}=\sqrt[0]{\sum_{i}|x_{i}|^{0}}

Apa makna yang bisa kita ambil dari persamaan tersebut? Sejatinya, l_{0}- norm bukan merupakan norm yang sebenarnya, sebab tidak memenuhi salah satu kriteria norm yang sudah dipaparkan di awal (sila Anda periksa sendiri). Jadi matematikawan lebih mendefinisikan l_{0}- norm sebagai jumlah total elemen bukan nol dari suatu vektor. Sebagai contoh, l_{0}- norm dari vektor-vektor (0,0) dan (5,0) adalah satu, sebab hanya memiliki satu elemen tak nol.

Lalu, apa kegunaan dari l_{0}- norm ini? Kita bisa melihatnya di dalam dunia programming. Semisal kita dapat mendefinisikan dua buah vektor yang merepresentasikan username dan password. Jika l_{0}- norm dari vektor tersebut adalah nol, maka login akan berhasil. Jika l_{0}- norm dari vektor adalah satu, maka login akan gagal.

l_{1}- norm

l_{1}- norm didefinisikan sebagai

\left\|x\right\|_{1}=\sum_{i}|x_{i}|

dikenal juga sebagai jarak Manhattan atau Manhattan norm. Jarak Manhattan mendefinisikan jumlah dari besaran vektor di suatu ruang. Sebagai contoh jika diberikan vektor x=(4,5),

norm

maka l_{1}- norm dari vektor x adalah

\left\|x\right\|_{1}=|4|+|5|=9

Artinya, l_{1}- norm dari vektor x adalah jarak yang ditempuh dari titik asal (0,0) menuju (4,5) (total panjang lintasan berwarna hijau). Lintasan yang kita tempuh menyerupai rute angkutan umum yang melintasi penghalang kota. Jika kita lihat, jarak tempuh akan lebih dekat lagi ketika menempuh lintasan lurus yang langsung menghubungkan (0,0) dengan (4,5), yakni dengan menghitung sisi miring dari segitiga siku-siku. Namun untuk kasus tersebut kita definisikan ke dalam norm lain yang disebut sebagai l_{2}- norm.

l_{2}- norm

Seperti yang telah dijelaskan di awal, l_{2}- norm tidak lain adalah norm Euclid yang telah kita kenal dengan baik. Jadi l_{2}- norm dari x memiliki bentuk

\left\|x\right\|_{2}=\sqrt{\sum_{i}|x_{i}|^{2}}

Sama seperti l_{1}- norm, l_{2}- norm juga digunakan untuk menghitung jarak, yang mana dijadikan standar penghitungan jarak dari vektor yang satu dengan vektor yang lainnya. Akan tetapi l_{2}- norm akan menghasilkan jarak tempuh yang lebih pendek. Semisal untuk vektor x=(4,5), maka l_{2}- norm dari vektor tersebut adalah

\left\|x\right\|_{2}=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}

norm 2

Nah, menariknya lagi, kita juga akan berjumpa dengan l_{\infty}- norm. Apa itu l_{\infty}- norm dan bagaimana kita mendefinisikannya?

Penjelasan lebih lanjut akan saya bahas di postingan yang akan datang.


Sumber Pustaka

Norm. WIkipedia. Diakses 29 Agustus 2018. [https://en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)]

Sumber  Gambar

http://www.gandrllc.com/on-our-minds/methods/whats-in-a-norm/

Iklan

2 Comments Add yours

  1. yusuf muhammad berkata:

    waw sangat mudah dipahami terima kasih
    aku mau klik iklan (sebagai ucapan terima kasih) kok ga ada iklannya?

    Suka

    1. Halo Yusuf. Terima kasih sudah berkunjung ke blog saya ya. Tidak perlu klik iklannya, saya tidak pakai Google Adsense 🙂

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s