L∞-norm pada Vektor

lin.JPG

Perhatikan kembali definisi secara umum dari l_{p}-norm berikut ini

\left\|x\right\|_{p}=\sqrt[p]{\sum_{i}x_{i}^{p}}

Ketika berbicara l_{\infty}, maka yang sedang kita bicarakan adalah persamaan

\left\|x\right\|_{\infty}=\sqrt[\infty]{\sum_{i}x_{i}^{\infty}}

Tapi, tunggu dulu, apa maksudnya persamaan di atas? Hmm.. rasanya kita tidak dapat menjelaskan secara intuisi arti dalam persamaan tersebut. Namun kita sepakati bahwa definisi dari l_{\infty}- norm dari vektor x sebagai nilai maksimum dari harga mutlak setiap elemen dari vektor x, dituliskan

\left\|x\right\|_{\infty}=max\left\{|x_{i}|: i=1,2,3,\cdots, n\right\}

Contohnya, l_{\infty}- norm dari vektor x=(2,3,-5) adalah

\left\|(2,3,-5)\right\|_{\infty}=max\left\{|2|,|3|,|-5|\right\}=5

l_{\infty}- norm juga memiliki istilah lain, yaitu norma tak terhingga (infinity norm). Perhatikan bahwa fungsi \left\|\cdot\right\|_{\infty}:R^{n}\rightarrow R yang didefinisikan sebagai \left\|x\right\|_{\infty}=max\left\{|x_{i}|:i=1,2,3,\cdots,n\right\} merupakan suatu norma. Untuk membuktikannya, kita perlu menunjukkan bahwa \left\|\cdot\right\|_{\infty} memenuhi semua sifat norma seperti yang sudah saya jelaskan di sini. Buktinya cukup mudah, jadi saya serahkan kepada pembaca saja ya.

Lebih lanjut lagi, ada keterkaitan antara l_{1}-norm, l_{2}-norm dan l_{\infty}-norm ini. Jika diberikan ruang vektor V dengan dimensi berhingga, maka dua vektor norm \left\| \right\|_{\alpha} dan \left\| \right\|_{\beta} dikatakan ekuivalen jika dan hanya jika terdapat konstanta real C_{1}>0 dan C_{2}>0 memenuhi

\left\|x\right\|_{\alpha}\leq C_{1}\left\|x\right\|_{\beta} dan \left\|x\right\|_{\beta}\leq C_{2}\left\|x\right\|_{\alpha}, untuk setiap x\in V

Kita dapat buktikan bahwa semua l_{p}-norm ekuivalen (lihat buktinya di sini). Khususnya, jika x\in R^{n} maka berlaku

\left\|x\right\|_{2}\leq\left\|x\right\|_{1}\leq\sqrt{n}\left\|x\right\|_{2}

\left\|x\right\|_{\infty}\leq\left\|x\right\|_{2}\leq\sqrt{n}\left\|x\right\|_{\infty}

\left\|x\right\|_{\infty}\leq\left\|x\right\|_{1}\leq n\left\|x\right\|_{\infty}

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s