Apakah √2^√2 Bilangan Rasional ataukah Irasional?

Kita sudah mengetahui bahwa \sqrt{2} merupakan bilangan irasional, yang artinya \sqrt{2} tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk perbandingan \frac{p}{q} di mana p,q\in\mathbb{Z}, q\neq 0. Namun apa yang terjadi jika kita pangkatkan \sqrt{2} dengan \sqrt{2} lagi? Apakah \sqrt{2}^{\sqrt{2}} merupakan bilangan rasional ataukah irasional?

akar2.JPG

Jalan pintas untuk mengetahui jawaban dari pertanyaan tersebut adalah dengan memandang  Teorema Gelfond–Schneider. yang berbunyi

Jika \alpha dan \beta merupakan bilangan aljabar dengan \alpha\neq 0,\alpha\neq 1, dan \beta bilangan irasional, maka \alpha^{\beta} merupakan bilangan transenden.

Catatan: Bukti dari teorema ini cukup kompleks, jadi tidak akan saya cantumkan karena saya pun tidak begitu paham. Hiks!

Jika Anda masih ingat, saya pernah menyinggung masalah bilangan aljabar dan bilangan transenden di dalam artikel ini. Bilangan aljabar merupakan akar-akar dari polinomial tak nol dengan koefisien-koefisiennya bilangan rasional. Bilangan selain bilangan aljabar disebut sebagai bilangan transenden. Contohnya seperti e dan \pi.

Nah, kembali lagi dengan teorema di atas. Karena \sqrt{2} merupakan bilangan irasional dan juga merupakan bilangan aljabar (jelas, karena \sqrt{2} merupakan akar dari x^{2}-2=0) maka menurut Teorema Gelfond-Schneider, kita dapat memisalkan \alpha =\beta =\sqrt{2}, sehingga \alpha^{\beta}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}} merupakan bilangan transenden.

Selanjutnya kita dapat klaim bahwa semua bilangan transenden mestilah bilangan irasional. Buktinya cukup mudah. Dengan menggunakan kontradiksi, asumsikan bahwa terdapat bilangan transenden yang juga merupakan bilangan rasional, katakanlah r=\frac{p}{q}, p,q\in\mathbb{Z},q\neq 0. Akan tetapi kita dapat membangun polinomial qx-p=0 yang memiliki solusi x=\frac{p}{q}=r. Akibatnya r merupakan bilangan aljabar, terjadi kontradiksi. Jadi tidak ada satu pun bilangan transenden yang merupakan bilangan rasional. Akibatnya semua bilangan transenden adalah bilangan irasional.

Apa yang dapat kita simpulkan? Karena \sqrt{2}^{\sqrt{2}} merupakan bilangan transenden, maka mestilah ia juga merupakan bilangan irasional.

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s