Masih Seputar Bilangan √2^√2

akar22

Seperti pada judul, artikel ini masih seputar bilangan \sqrt{2}^{\sqrt{2}}. Saya sangat menyukai bilangan ini, sebab banyak alasan yang menyebabkan dia unik. Salah satunya karena dia merupakan pemeran utama di balik teorema yang berbunyi

Terdapat dua bilangan irasional \alpha dan \beta di mana \alpha\neq \beta sehingga \alpha^{\beta} merupakan bilangan rasional.

Jika memandang kembali Teorema Gelfond–Schneider, maka teorema di atas ingin menunjukkan kepada kita bahwa Teorema Gelfond-Schneider tidak berlaku jika syarat \alpha dan \beta merupakan bilangan aljabar dihilangkan.

Perhatikan bahwa jika kita substitusikan \alpha =\sqrt{2}^{\sqrt{2}} dan \beta=\sqrt{2} yang mana keduanya merupakan bilangan irasional, maka diperoleh

\alpha^{\beta}= (\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2\in\mathbb{Q}

Seperti yang diinginkan oleh teorema tersebut.

Nah, fakta lain terkait nilai hampiran dari \sqrt{2}^{\sqrt{2}} dapat kita cari dengan memandang deret Maclaurin dari fungsi f(x)=(x+1)^{(x+1)}, yakni

(x+1)^{(x+1)}=1+x+x^{2}+\frac{1}{2}x^{3}+\frac{1}{3}x^{4}+\frac{1}{12}x^{5}+\dots

Kemudian substitusikan x=\sqrt{2}-1, sehingga diperoleh nilai hampiran dari \sqrt{2}^{\sqrt{2}} sebagai

\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\approx 1+(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{2}-1)^{2}+\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)^{3}+\frac{1}{3}(\sqrt{2}-1)^{4}+\frac{1}{12}(\sqrt{2}-1)^{5}

Ternyata bentuk hampiran deret dari \sqrt{2}^{\sqrt{2}} tidak begitu cantik, ya! Meskipun demikian, saya masih tetap menyukai bilangan ini. Menurutmu, fakta menarik apa lagi yang bisa didapat dari bilangan \sqrt{2}^{\sqrt{2}}?


Sumber Gambar

https://pxhere.com/en/photo/1451489

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s