Apakah Bilangan Imajiner i Bernilai Positif ataukah Negatif?

Jika i merupakan bilangan imajiner yang kita ketahui nilainya adalah i=\sqrt{-1}, maka manakah pernyataan berikut yang tepat; i>0 ataukah i<0? Atau malah tidak mungkin keduanya? Yup! Jawaban yang benar adalah bilangan imajiner i tidak mungkin bernilai positif juga tidak mungkin bernilai negatif. Mengapa demikian?

i.PNG

Jika i bernilai positif, yakni i>0, maka kita dapat kalikan kedua ruas dengan i sehingga menghasilkan

i^{2}>0

-1>0

Jika dikalikan kembali dengan i maka

-i>0

Selanjutnya kedua ruas dijumlahkan dengan i sehingga diperoleh

i-i>i+0

0>i

Terjadi kontradiksi dengan asumsi di awal bahwa i>0. Dengan cara yang serupa, kita dapat simpulkan bahwa i juga tidak mungkin bernilai negatif. Akibatnya mustahil bagi kita untuk mendefinisikan urutan lengkap pada himpunan bilangan kompleks \mathbb{C}. Lebih lengkapnya, untuk setiap z_{1}, z_{2}, z_{3}\in\mathbb{C}, maka tidak berlaku bahwa:

  • Untuk setiap dua bilangan kompleks z_{1} dan z_{2}, maka salah satu dari pernyataan berikut memenuhi: z_{1}>z_{2} atau z_{1}=z_{2} atau z_{1}<z_{2};
  • Jika z_{1}>z_{2} maka z_{1}+z_{3}>z_{1}+z_{3};
  • Misalkan z_{3}>0, maka z_{1}>z_{2} mengimplikasikan z_{1}z_{3}>z_{1}z_{3}.

Jadi sifat terurut lengkap yang berlaku pada himpunan bilangan real \mathbb{R} ternyata tidak berlaku di dalam himpunan bilangan kompleks \mathbb{C}. Nah, sifat urutan inilah yang menjadi salah satu contoh yang membedakan antara bilangan real dan bilangan kompleks.


Sumber Gambar

http://confusedcartoon.blogspot.com/

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s