Freshman’s Dream; Mimpi yang Menjadi Kenyataan

Mahasiswa baru kerap kali memiliki khayalan dan impian yang tidak sesuai dengan kenyataan. Misalnya saja di dalam matematika. Ketika mereka mendapatkan penghitungan yang melibatkan bentuk (x+y)^{2}, maka tidak sedikit yang menjawab x^{2}+y^{2}. Tentu hasil x^{2}+y^{2} adalah hasil yang mereka impikan, karena rasanya bentuk tersebut cukup masuk akal dan lebih mudah untuk dikalkulasikan. Padahal kita tahu bahwa nilai yang sebenarnya adalah (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}. Nah, impian para mahasiswa baru bahwa (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} dikenal dengan nama Freshman’s Dream. Namun menariknya, ternyata Freshman’s Dream ini bukan hanya khayalan belaka, sebab kita dapat membuktikan kebenarannya!

asyique

Agar persamaan (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} terpenuhi, kita membutuhkan beberapa syarat. Salah satunya adalah n merupakan bilangan prima dan x,y merupakan anggota dari ring komutatif yang memiliki karakteristik n. Jadi pertama-tama kita perlu mengetahui terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan ring komutatif dan karakteristiknya.

Definisi Ring (Komutatif): Ring komutatif merupakan suatu himpunan R yang dilengkapi dengan operasi + dan perkalian yang terdefinisi dengan baik. Yakni untuk setiap x,y,z\in R maka berlaku

  1. x+y\in R
  2. x+y=y+x
  3. (x+y)+z=x+(y+z)
  4. Terdapat 0\in R untuk setiap x\in R sehingga 0+x=x\in R
  5. Untuk setiap x\in R, terdapat -x\in R memenuhi x+(-x)=0
  6. xy\in R
  7. xy=yx
  8. x(yz)=z(yz)
  9. x(y+z)=xy+xz

Definisi Karakteristik: Karakteristik dari suatu ring R merupakan suatu bilangan bulat terkecil n>0 sehingga n.1=\underset{n}{\underbrace{1+1+\cdots +1}}=0. Jika tidak ada nilai n tersebut, maka karakteristiknya adalah nol.

Dari sini dapat kita pahami bahwa setiap bilangan bulat yang merupakan kelipatan n dari ring komutatif dengan karakteristik n nilainya akan ‘menjadi’ 0. Misalnya jika kita memliki suatu ring komutatif R dengan karakteristik 3, maka jika terdapat 12\in R, berlaku

12=3.4=(3.1).4=0.4=0

Sekarang mari kita meluncur menuju pembuktian dari Freshman’s Dream ini!

Misalkan suatu ring R memiliki karakteristik p. Jika p merupakan bilangan prima, maka berlaku

(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}, untuk setiap x,y\in R

Misalkan p merupakan bilangan prima dan x,y\in R. Pandang rumus ekspansi binomial berikut

(x+y)^{p}=\sum_{k=0}^{p} \binom{p}{k}x^{p-k}y^{k}=x^{p}+(\binom{p}{1}xy^{p-1}+\binom{p}{2}x^{2}y^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}xy^{p-1})+y^{p}    (*)

Untuk menunjukkan (x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}, maka kita harus menunjukkan bahwa penjumlahan dari semua suku pada ruas kanan yang diberi kurung mestilah bernilai nol (dalam ring komutatif yang memiliki karakteristik p). Artinya kita hanya perlu menunjukkan hasil penjumlahan dari suku-suku yang diberi kurung mestilah kelipatan p, atau dengan kata lain dapat dibagi oleh p. Jadi yang perlu kita lakukan adalah membuktikan bahwa p membagi \binom{p}{k}, untuk setiap 1\leq k\leq p-1. Pandang rumus kombinasi berikut

\binom{p}{k}=\frac{p!}{k!(p-k)!}

Perhatikan bahwa ekspresi di atas akan selalu menghasilkan suatu bilangan bulat. Artinya jika kita faktorkan pembilangnya, yakni p!, dan penyebutnya, yakni k!(p-k)!, ke dalam faktor prima terkecilnya, maka setiap faktor prima dalam penyebutnya akan ‘dihabisi’ oleh sebagian faktor prima dalam pembilangnya. Selanjutnya perhatikan bahwa p akan muncul pada faktorisasi pembilang karena merupakan kelipatan dari p!. Maka bukti akan selesai jika kita dapat menunjukkan p tidak muncul di dalam faktorisasi penyebutnya. Kita dapat buktikan hal tersebut dengan menggunakan kontradiksi.

Andaikan p muncul sebagai faktor prima dalam penyebutnya, artinya p merupakan kelipatan dari k!(p-k)! sehingga p membagi k!(p-k)!, dituliskan

p|k!(p-k)!

Jika dijabarkan kembali menjadi

p|k(k-1)(k-2)\cdots 3.2.1.(p-k)(p-k-1)\cdots 3.2.1

Karena p merupakan bilangan prima, maka menurut Lemma Euclidp pastilah membagi (paling sedikit) satu faktor di ruas kanan. Akan tetapi karena 1\leq k\leq p-1, maka setiap faktor di ruas kanan lebih kecil daripada p. Jadi p tidak mungkin membagi k!(p-k)!. Terjadi kontradiksi. Jadi mestilah p tidak muncul sebagai faktor di dalam penyebutnya. Hal ini menunjukkan bahwa penjumlahan suku-suku yang ada di dalam kurung pada persamaan (*) merupakan kelipatan p, sehingga di dalam ring komutatif dengan karakteristik p, nilai tersebut menjadi nol. Jadi kita punya persamaan

(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}

seperti yang diimpi-impikan oleh para mahasiswa baru.


Sumber Gambar

https://www.wikihow.com/Deal-With-Maladaptive-Daydreaming

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s