Sophomore’s Dream; Impian Mahasiswa Tingkat Kedua

Setelah kita mewujudkan impian dari mahasiswa baru (Freshman’s Dream), yakni membuktikan bahwa persamaan (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n} berlaku benar, ternyata masalah Freshman’s Dream juga memiliki kelanjutannya, lho. Masalah ini dikenal dengan nama Sophomore’s Dream, atau dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai impian mahasiswa tingkat kedua.

sophomore

Sophomore’s Dream berbicara tentang keterkaitan antara deret tak terhingga dengan integral, yang mana diberikan oleh persamaan

\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}

Saat pertama kali melihat persamaan di atas, mungkin dalam hati kita meragukan, “Kayanya persamaannya bener, deh. Eh, tapi masa iya sih?”. Jika memandang  kembali luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=x^{-x} pada selang [0,1] dengan luas daerah yang diperoleh dari deret \sum_{n=1}^{\infty}n^{-n},

sophomore 2

maka tidak menutup kemungkinan bahwa daerah yang diarsir pada kedua gambar di atas memiliki luas yang sama. Dan tak perlu diragukan lagi, ternyata luasnya memang sama! Mari kita buktikan kebenarannya.

Pertama-tama kita tuliskan x^{-x}=e^{-xlnx} sebagai deret pangkat

e^{-xlnx}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}(-lnx)^{n}}{n!}

Lalu integrasikan kedua ruas dengan batas pengintegrasian dari x=0 sampai x=1,

\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\int_{0}^{1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}(-lnx)^{n}}{n!}dx

Karena deret pangkat pada ruas kanan konvergen secara seragam, maka kita dapat mengintegralkannya suku per suku, menjadi

\int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\int_{0}^{1}x^{n}(-lnx)^{n}dx

Selanjutnya selesaikan integral pada ruas kanan dengan menggunakan substitusi. Jadi kita substitusikan lnx=\frac{-u}{n+1} sehingga diperoleh dx=\frac{-e^{\frac{-u}{n+1}}}{(n+1)}, dan integral di atas menjadi

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du

Kemudian kita aplikasikan Identitas Gamma \Gamma(n+1)=\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du=n! untuk memperoleh

\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!(n+1)^{n+1}}\int_{0}^{\infty}u^{n}e^{-u}du =\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)^{-(n+1)}=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}

Terbukti deh \int_{0}^{1}x^{-x}dx=\sum_{n=1}^{\infty}n^{-n}.

Bukti pertama dari Sophomore’s Dream diberikan oleh Johann Bernoulli pada tahun 1697. Akan tetapi bukti yang diberikan olehnya berbeda dengan yang telah disajikan di atas. Perbedaannya, Bernoulli tidak menerapkan Identitas Gamma, melainkan menggunakan integral parsial secara berulang kali hingga didapatkanlah persamaan tersebut.


Sumber Pustaka

Sophomore’s Dream. Wikipedia. Diakses 27 Oktober 2018. [https://en.wikipedia.org/wiki/Sophomore%27s_dream#CITEREFBernoulli1697]

Sumber Gambar

Orang sedang Bermimpi [https://www.123rf.com/photo_17185602_boy-has-a-dream-vector-illustration-cartoon.html]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s