Pembuktian Teorema Dasar Aljabar (Via Teorema Liouville)

Jika diberikan suatu lapangan \mathbb{F} yang memiliki sifat bahwa setiap polinomial dengan koefisien-koefisiennya anggota \mathbb{F} memiliki paling sedikit satu akar di \mathbb{F}, maka kita katakan \mathbb{F} tertutup secara aljabar. Tentunya tidak semua lapangan tertutup secara aljabar. Salah satu contohnya adalah lapangan bilangan riil, karena tidak setiap polinomial yang memiliki koefisien bilangan riil memiliki akar bilangan riil juga. Seperti polinomial x^{2}+1 yang tidak memiliki solusi bilangan riil x sehingga memenuhi x^{2}+1=0.

teorema dasar aljabar

Salah satu lapangan yang tertutup secara aljabar adalah lapangan bilangan kompleks. Hal ini dijamin oleh Teorema Dasar Aljabar yang berbunyi:

Setiap polinomial tak konstan P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots a_{0} dengan koefisien-koefisien bilangan kompleks memiliki akar di \mathbb{C}.

Teorema ini mengimplikasikan juga bahwa jika P(z) merupakan polinomial berderajat n, maka P(z) memiliki akar sebanyak n. Jadi jika diberikan polinomial P(z)=z^{100}+2z-1, maka akar-akar dari P(z) ada sebanyak 100 buah. Apa saja akarnya? Saya pun tidak tahu, yang jelas akar-akarnya merupakan bilangan kompleks!

Bukti Teorema Dasar Aljabar Via Teorema Liouville

Ada banyak cara untuk membuktikan Teorema Dasar Aljabar, namun, salah satu cara yang paling mudah adalah dengan menerapkan Teorema Liouville. Teorema Liouville ini mengatakan bahwa,

Jika f fungsi entire dan terbatas di \mathbb{C}, maka f merupakan fungsi konstan

Misalkan kita definisikan polinomial tak konstan

P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+a_{n-2}z^{n-2}+\cdots +a_{0}

Dengan menggunakan kontradiksi, asumsikan bahwa polinomial P(z) tidak memiliki akar, artinya tidak ada nilai z\in\mathbb{C} sehingga P(z)=0. Jadi f(z)=\frac{1}{P(z)} merupakan fungsi entire yang mana terdefinisi dan analitik di \mathbb{C} (Jelas karena menurut asumsi P(z) tidak akan pernah bernilai nol). Dengan asumsi a_{0}\neq 0, maka dapat kita tuliskan

|f(z)|=|\frac{1}{P(z)}|=|\frac{1}{z^{n}}|\frac{1}{|a_{n}+(\frac{a_{n-1}}{z}+\frac{a_{n-2}}{z^{2}}+\cdots +\frac{a_{0}}{z^{n}})|}

Ketika z\rightarrow \infty, maka suku-suku yang ada di dalam tanda kurung akan menuju nol, dan juga

|f(z)|\rightarrow\frac{1}{|z_{n}||a_{n}|}\rightarrow 0

Jadi kita dapat pilih R yang cukup besar sehingga |f(z)|<1 untuk setiap |z|>R. Di lain pihak, karena f(z) merupakan fungsi kontinu pada setiap cakram tertutup dan terbatas yang berpusat di nol dengan jari-jari R, maka f(z) terbatas untuk setiap |z|\leq R. Jadi f(z) terbatas di \mathbb{C}. Karena f(z) merupakan fungsi entire yang terbatas di \mathbb{C}, maka menurut Teorema Liouville, f(z) merupakan fungsi konstan, dituliskan

f(z)=\frac{1}{P(z)}=K, dengan K suatu konstanta

Maka P(z)=\frac{1}{K} merupakan suatu polinomial konstan. Hal ini bertentangan dengan asumsi bahwa P(z) merupakan polinomial tak konstan. Terjadi kontradiksi, jadi mestilah polinomial P(z) memiliki akar di \mathbb{C}.

Jika Anda membaca literatur lain yang berkaitan dengan pembuktian Teorema Dasar Aljabar, maka akan ditemukan banyak sekali pembuktian dengan cara yang berbeda-beda. Salah satunya adalah dengan menggunakan Teori Galois atau Teorema Kecil Picard.


Sumber Pustaka

Stein, Elias M., dan Rami Shakarchi. 2003.  Complex Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

Sumber Gambar

https://www.shutterstock.com/search/foundation+workPembuktian Teorema Dasar Aljabar (Via Teorema Liouville)

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s