Pada tanggal 23 November kemarin, kita memperingati hari Fibonacci. Mungkin Anda tidak sadar bahwa hari kemarin, tanggal 11-23, membentuk lima suku pertama barisan Fibonacci, yakni . Untuk memperingati hari Fibonacci, maka saya akan menuliskan artikel yang berkaitan dengan barisan Fibonacci. Dalam hal ini, kita akan melihat penerapan dari fungsi pembangkit untuk menentukan rumus eksplisit dari barisan Fibonacci.
Seperti yang kita ketahui, barisan Fibonacci didefinisikan secara rekursif sebagai
, untuk
Kita dapat mulai menyusun fungsi pembangkit dari barisan Fibonacci sebagai deret pangkat yang memiliki koefisien-koefisien barisan Fibonacci, yakni
Karena untuk setiap
, maka dapat dituliskan
Selanjutnya karena masing-masing jumlah pada ruas kanan dapat dituliskan sebagai
dan
Jadi kita peroleh
di mana merupakan fungsi pembangkit dari barisan Fibonacci. Perjuangan kita belum selesai sampai di sini, sebab tujuan kita adalah untuk menentukan deret pangkat lain dari
. Untuk mencarinya, pandang penyebut dari
, yakni
yang memiliki akar-akar
dan
, dengan
dan
Jadi dapat dituliskan
Nah, dengan menggunakan dekomposisi pecahan parsial, bentuk di atas dapat dijabarkan kembali menjadi
Sekarang kita ingin merepresentasikan bentuk yang ada di dalam kurung pada persamaan di atas ke dalam suatu deret pangkat. Bagaimana caranya? Karena baik maupun
keduanya menyerupai jumlah deret geometri, yakni
dengan
Maka dapat dituliskan
(Perhatikan bahwa kita memiliki hubungan ). Dengan cara yang serupa diperoleh
Jadi kita dapatkan deret pangkat dari fungsi pembangkit sebagai
Karena di awal telah diketahui bahwa , maka dengan menyamakan koefisien dari
didapat
Substitusikan kembali nilai dan
untuk memperoleh
Voila! Rumus eksplisit dari barisan Fibonacci pun berhasil kita dapatkan. Dengan mensubstitusikan nilai , ke dalam rumus
di atas, maka akan kita peroleh barisan
seperti yang diharapkan.
Selamat Hari Fibonacci!
Sumber Gambar
Fibonacci Day [https://id.pinterest.com/pin/157414949459912097/]