Ketakterhinggaan dalam Bidang Kompleks

Kita sudah mengetahui bahwa sifat terurut lengkap tidak berlaku pada himpunan bilangan kompleks, yakni jika diberikan z_{1}, z_{2}\in\mathbb{C}, maka tidak berlaku bahwa z_{1}>z_{2} atau z_{2}>z_{1}. Artinya di dalam himpunan kompleks kita tidak dapat membandingkan dua bilangan untuk mengetahui mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Lantas apa makna ketakterhinggaan dalam bidang kompleks jika sesuatu yang lebih besar dari yang lainnya itu tidak dapat didefinisikan?

Cartoon image of Infinity

Kita mulai dari definisi himpunan terbatas dalam bilangan riil. Suatu himpunan A dikatakan terbatas jika terdapat bilangan M>0 sehingga untuk setiap x anggota A maka berlaku |x|<M. Perhatikan bahwa |x| bermakna nilai mutlak dari x. Di dalam bidang kompleks, suatu himpunan \omega dikatakan terbatas jika terdapat bilangan M>0 sehingga untuk setiap z anggota \omega maka berlaku |z|<M. Di sini z merupakan bilangan kompleks. Sepintas definisi himpunan terbatas dari bilangan riil dan bilangan kompleks tidak ada bedanya. Namun, makna dari |z| bukanlah nilai mutlak dari z seperti pendefinisian nilai mutlak pada bilangan riil,  melainkan modulus dari z.

Masih ingat apa yang dimaksud dengan modulus dari suatu bilangan kompleks? Jika diberikan z=x+iy\in\mathbb{C}, maka modulus dari z merupakan jarak dari z=x+iy dengan titik asal (0,0), yang didefinisikan sebagai |z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

modulus

Karena x dan y keduanya merupakan bilangan riil, maka |z| mestilah bernilai riil. Karena |z| merupakan bilangan riil, maka berlaku sifat terurut lengkap, yakni untuk setiap z_{1},z_{2}\in\mathbb{C}, maka berlaku |z_{1}|<|z_{2}|, atau |z_{1}|=|z_{2}|, atau |z_{1}|>|z_{2}|. Di sini kita dapat berbicara mengenai ketakterhinggaan seperti pada himpunan bilangan riil. Jadi di dalam bidang kompleks, ketika kita berbicara

Jika z\rightarrow\infty maka \frac{1}{z}\rightarrow 0

maka makna sesungguhnya adalah

Jika |z|\rightarrow\infty maka \frac{1}{z}\rightarrow 0

Ingat, tidak ada bilangan kompleks yang menuju tak terhingga, melainkan modulusnya yang menuju tak terhingga.

Nah, jika sistem bilangan riil \mathbb{R} dapat diperluas dengan menambahkan -\infty dan \infty ke dalamnya, maka dapatkah kita memperluas bidang kompleks dengan menambahkan \infty ke dalamnya, sehingga jika z bilangan kompleks tak nol, maka kita dapat mendefinisikan \frac{z}{0}=\infty dengan baik? Jawabannya adalah; tentu bisa!. Dalam hal ini kita notasikan himpunan bilangan kompleks yang diperluas sebagai \bar{\mathbb{C}}:=\mathbb{C}\cup \left\{\infty\right\}. Akan tetapi bidang kompleks yang diperluas bukan merupakan bidang Argand seperti yang sudah kita kenal, melainkan berbentuk bola yang diberi nama bola Riemann. Apa itu bola Riemann dan bagaimana cara mengonstruksinya? Penjelasannya akan saya bahas di artikel selanjutnya.


Sumber Gambar

Infinity [https://www.123rf.com/photo_81520971_cartoon-image-of-infinity.html]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s