Bola Riemann; Bidang Kompleks yang Diperluas

Bidang kompleks dapat kita perluas dengan menambahkan unsur \infty ke dalamnya, namun, tidak seperti di dalam bilangan riil yang diperluas, pada bidang kompleks kita tidak dapat mendefinisikan apa itu -\infty dan +\infty, melainkan hanya \infty saja. Bagaimana cara mengonstruksi bidang kompleks yang diperluas tersebut?

Pandang ruang Euclid di \mathbb{R}^{3} yang memiliki koordinat titik (x_{1},x_{2},x_{3}), di mana bidang-x_{1}x_{2} merupakan bidang kompleks yang sudah kita kenal, yaitu \mathbb{C} dan diberikan oleh himpunan pasangan titik

\mathbb{C}= \left\{(x_{2},x_{2},0)\in\mathbb{R}^{3}|x_{1},x_{2}\in\mathbb{R}\right\}

Selanjutnya bayangkan sebuah bola \mathbb{S} berjari-jari 1 satuan yang memiliki dua buah kutub di permukaannya, yakni kutub utara dan kutub selatan, di mana kutub utara kita beri label N. Kita letakkan bola tersebut sehingga bidang \mathbb{C} memotong bola di sepanjang ekuatornya, seperti pada gambar berikut

bola riemann.JPG

Sekarang kita dapat lihat bahwa kutub utara N memiliki koordinat titik N=(0,0,1). Lalu apa hubungan dari bidang kompleks dan bola yang kita miliki tersebut?

Jika kita ambil sebarang titik P pada bola selain titik N, maka kita dapat kaitkan titik tersebut dengan titik di bidang-x_{1}x_{2} (bidang kompleks \mathbb{C}). Perhatikan garis yang menghubungkan kutub utara N dengan titik P yang memotong bidang-x_{1}x_{2} di suatu titik, katakanlah titik z=x+iy. Di sini, z dikatakan sebagai proyeksi stereografik dari P. Sebaliknya, jika diberikan titik z\in\mathbb{C}, maka garis yang menghubungkan N dengan z memotong bola di N dan titik lainnya, yaitu P. Konstruksi geometri ini menghasilkan pemetaan bijektif antara titik-titik pada bola (selain N) dengan bidang kompleks \mathbb{C}, yang diberikan oleh persamaan

x=\frac{x_{1}}{1-x_{3}}  dan  y=\frac{x_{2}}{1-x_{3}}

yang mana merupakan perumusan z=(x,y,0) dalam persamaan dari P=(x_{1},x_{2},x_{3}). Dari sini juga kita dapat peroleh rumus untuk P dalam persamaan dari z, diberikan sebagai

x_{1}=\frac{x}{x^{2}+y^{2}+1},    x_{2}=\frac{y}{x^{2}+y^{2}+1},    x_{3}=\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+1}

Karena terdapat pemetaan bijektif dari bola \mathbb{S} ke dalam bidang kompleks \mathbb{C}, maka kita dapat memandang bola \mathbb{S} sebagai ‘bidang kompleks \mathbb{C}‘. Jadi ‘bidang kompleks’ kita sekarang adalah bola \mathbb{S} tersebut, yang mana dikenal sebagai bola Riemann. Sesuai dengan namanya, model bola ini dikenalkan oleh Bernhard Riemann, seorang matematikawan ternama berkebangsaan Jerman. Nah, di dalam bola Riemann ini lah kita dapat menambahkan unsur \infty.

Bernhard-Riemann.jpg

Perhatikan bahwa ketika titik z menuju tak terhingga (dalam arti |z|\rightarrow\infty), maka titik P di bola \mathbb{S} yang berkorespondensi dengannya akan semakin mendekati kutub utara N. Ini menjadikan N sebagai “titik di tak terhingga” kita. Jadi bidang kompleks yang diperluas adalah suatu bola Riemann di mana titik kutub utara N merupakan titik tak terhingga dari bidang kompleks, dan dituliskan dengan lambang \infty.

Bidang kompleks yang diperluas ini sangat berguna di dalam analisis kompleks, salah satu contohnya adalah setiap fungsi rasional di dalam bidang kompleks dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada bola Riemann, dengan pole dari fungsi rasional tersebut dipetakan ke titik tak terhingga. Lebih umumnya lagi, setiap fungsi meromorfik dapat dipelajari sebagai fungsi kontinu yang memiliki kodomain bola Riemann.


Sumber Pustaka

Stein, Elias M., dan Rami Shakarchi. 2003.  Complex Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

Sumber Gambar

Bernhard Riemann [https://simplycharly.com/people/bernhard-riemann]

 

 

 

 

 

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s