Fungsi Logaritma Kompleks

LOGARITHM

Di dalam kuliah kalkulus, kita mengenal bahwa fungsi logaritma alami lnx merupakan fungsi balikan dari eksponensial alami e^{x} sehingga y=lnx merupakan solusi tunggal yang memenuhi persamaan x=e^{y}. Solusinya akan bernilai tunggal sebab e^{x} merupakan fungsi satu-satu, yang artinya jika x_{1}\neq x_{2} maka e^{x_{1}}\neq e^{x_{2}}. Akan tetapi berbeda halnya dengan fungsi eksponensial bernilai kompleks, yakni e^{z}, z\in\mathbb{C}, yang mana merupakan fungsi periodik dengan periode 2\pi i. Jadi nilai z+2n\pi i akan dipetakan oleh f(z)=e^{z} ke nilai yang sama. Akibatnya, fungsi logaritma ln z sebagai balikan dari e^{z} akan memetakan satu nilai ke banyak nilai yang berbeda.

Pandang bilangan kompleks z dalam bentuk polar, yaitu z=re^{i\theta}, sehingga kita dapatkan

ln z=ln(re^{i\theta})

lnz=lnr+i\theta

lnz=ln|z|+iarg(z)

Di sini nilai dari arg(z)=\theta tidaklah tunggal. Sebagai contoh untuk z=1+i kita punya |z|=\sqrt{2} dan arg(z)=\frac{\pi}{4}+2n\pi, maka

lnz=ln(\sqrt{2})+i(\frac{\pi}{4}+2n\pi), untuk setiap n\in\mathbb{Z}

Perhatikan bahwa hasil pemetaan z oleh lnz akan ada tak hingga banyaknya. Oleh karena itu lnz tidak memenuhi syarat sebagai fungsi. Supaya lnz terdefinisi dengan baik, maka kita perlu mendefinisikan ulang fungsi logaritma dalam bidang kompleks. Bagaimana caranya?

what

Agar lnz menjadi fungsi bernilai tunggal, maka kita perlu membatasi daerah definisinya. Pertama-tama, daerah definisi yang akan kita gunakan adalah himpunan terhubung sederhana D. Misalkan f(z)=lnz merupakan fungsi logaritma. Kita definisikan fungsi F(z)=ln_{D}(z) yang kontinu pada D sebagai cabang (branch) dari f(z). Kemudian misalkan D merupakan himpunan terhubung sederhana dengan elemen 1 termuat di D tetapi 0 tidak termuat di dalamnya. Maka terdapat fungsi tunggal F(z)=ln_{D}(z) di D sehingga memenuhi

  • F holomorfik di D
  • e^{F(z)}=z, \forall z\in D
  • F(r)=lnr untuk setiap r bilangan riil positif yang dekat dengan 1.

Misalnya daerah definisi kita adalah himpunan terhubung sederhana D:= \mathbb{C}\setminus (-\infty,0]. Perhatikan bahwa unsur 1 termuat di D dan 0 tidak termuat di dalamnya. Jadi D memenuhi syarat di atas, oleh karenanya kita miliki cabang dari logaritma f sebagai

F(z)= lnz=lnr+i\theta

di mana z=re^{i\theta} dengan |\theta|<\pi dan r>0. Perhatikan bahwa setiap z\in D akan dipetakan oleh F(z) ke suatu nilai yang tunggal. Jadi F(z) terdefinisikan dengan baik sebagai fungsi di D. Di sini F(z) dijuluki sebagai cabang utama (principal branch) dari f. Jadi untuk mendefinisikan fungsi logaritma kompleks kita perlu mendefinisikan daerah asalnya juga sehingga fungsinya bernilai tunggal.

Adapun perbedaan fungsi logaritma bernilai riil dengan fungsi logaritma bernilai kompleks terletak pada sifatnya. Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan riil a,b>0 maka berlaku ln(ab)=lna+lnb. Akan tetapi untuk setiap w,z\in D maka tidak selamanya berlaku ln(wz)=lnw+lnz. Misalkan saja untuk kasus z=w=e^{2/3\pi i}, maka berdasarkan cabang utama dari logaritma kita peroleh

lnz=lnw=\frac{2}{3}\pi i

Di lain pihak kita punya zw=e^{-\frac{2}{3}\pi i}, sehingga

ln(zw)=-\frac{2}{3}\pi i\neq lnz+lnw


Sumber Pustaka

Stein, Elias M., dan Rami Shakarchi. 2003.  Complex Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

Sumber Gambar

Log [https://www.prepamigo.com/mathematics/logarithm/]

Question Icon [https://www.pinterest.com/pin/588353138794832500/]

 

Iklan

2 Comments Add yours

  1. alwahdini berkata:

    haa itu apa teh ?? 😀

    Suka

    1. Ini fungsi logaritma bernilai kompleks 😀

      Suka

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s