Tidak ada Bilangan Bulat di antara Dua Bilangan Bulat n dan n+1

Ambil selembar kertas dan pulpen di dekat Anda, lalu tuliskan bilangan bulat dari -10 hingga 10, sudah? Jika Anda perhatikan dua bilangan bulat yang saling berdekatan, misalnya, -9 dengan -8, maka tidak akan ditemukan bilangan bulat di antara keduanya. Begitu pun dengan dua bilangan 0 dan 1, seberapa kerasnya Anda berusaha menemukan bilangan bulat di antara keduanya, maka hasilnya akan nihil. Lalu Anda bisa saja mengajukan sebuah klaim bahwa tidak mungkin ada bilangan bulat di antara dua bilangan bulat n dan n+1. Secara intuisi nampaknya pernyataan tersebut memang benar, namun, bagaimana cara membuktikannya secara matematis?

integer

Untuk menunjukkan bahwa tidak ada bilangan bulat di antara n dan n+1, kita mesti terlebih dahulu membuktikan suatu lemma yang akan memudahkan pengerjaan kita ke depannya. Jadi pertama-tama akan dibuktikan lemma berikut:

Tidak ada bilangan asli n sehingga memenuhi 0<n<1

Untuk membuktikannya, kita bangun suatu himpunan S yang didefinisikan sebagai S=\left\{n|n\in\mathbb{N}, 0<n<1\right\}. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa S merupakan himpunan kosong, artinya tidak ada bilangan asli n yang memenuhi 0<n<1.

Dengan menggunakan kontradiksi, andaikan S bukan himpunan kosong. Karena S\subset\mathbb{N} dan S tak kosong, maka menurut sifat terurut rapi, S memiliki nilai terkecil atau nilai minimum, katakanlah k sehingga memenuhi 0<k<1. Kalikan ketiga ruas dengan k untuk mendapatkan ketaksamaan 0<k^{2}<k<1. Akibatnya k bukan merupakan nilai minimum dari S, terjadi kontradiksi. Sehingga mestilah S merupakan himpunan kosong. Maka lemma di atas pun terbukti.

Selanjutnya kita gunakan lemma tersebut untuk membuktikan teorema yang diinginkan, yakni

Untuk setiap n\in\mathbb{Z}, tidak ada m\in\mathbb{Z} sehingga memenuhi n<m<n+1

Bukti: Andaikan terdapat bilangan bulat m memenuhi n<m<n+1, maka m-n>0 dan m-n<1. Jadi dapat dituliskan

0<m-n<1

Karena m-n merupakan bilangan bulat positif tak nol, maka m-n merupakan bilangan asli. Dari sini kita menemukan sebuah kontradiksi dengan lemma sebelumnya yang mengatakan bahwa tidak ada bilangan asli di antara 0 dan 1. Jadi pengandaian kita salah, sehingga mestilah tidak ada bilangan bulat m di antara bilangan bulat n dan n+1.


Sumber Gambar

https://byjus.com/cbse/integers/

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s