Konjektur Erdős–Straus dan Konjektur Sierpiński

Subjek mengenai pecahan Mesir telah menjadi perhatian para matematikawan hingga saat ini. Pada tahun 1202, Fibonacci (Leonardo Pisano) mengemukakan bahwa setiap bilangan rasional positif m/n dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari pecahan-pecahan satuan,

\frac{m}{n}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}+\cdots +\frac{1}{x_{n}},  di mana 1<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}

Kemudian pada tahun 1948, Paul Erdős and Ernst G. Straus mengemukakan suatu konjektur (dugaan) bahwa pecahan 4/n untuk n\geq 2 dapat dituliskan sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan, dituliskan

\frac{4}{n}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}}

 

Perhatikan bahwa penulisan di atas tidak mesti bernilai tunggal. Ada yang menambahkan x_{1},x_{2}, dan x_{3} di sana mestilah bilangan bulat positif yang berbeda, namun ada juga yang menyebutkan bahwa syarat ketiga bilangan harus berbeda tidak diperlukan. Contohnya untuk n=3 maka kita dapat tuliskan

\frac{4}{3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}

Jika x_{1}, x_{2}, dan x_{3} merupakan bilangan bulat positif yang berbeda, maka ketiga pecahan satuan ini merepresentasikan pecahan Mesir dari bilangan 4/n. Anda juga dapat menyatakan 4/4, 4/5,4/6 hingga 4/10^{17} sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan, sebab konjektur Erdős-Strauss telah terbukti kebenarannya untuk n\leq 10^{17}. Dengan kata lain, konjektur ini masih belum terbukti benar atau salah untuk setiap bilangan bulat positif n>10^{17}. Jadi jika Anda ingin memberikan contoh penyangkal, Anda harus bekerja pada bilangan bulat positif n>10^{17}. Cukup besar juga, ya?

Sebagai bocoran, untuk kasus di mana n merupakan bilangan bulat positif kelipatan empat, juga untuk n=4k-1, n=(4k-1)^{2}, n=4k+2, n=4k+3, n=8k-3 dan n=(8k-3)^{2}, di mana k\in\mathbb{N}, maka 4/n dapat dituliskan sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan. Sebagai contoh, kita dapat tuliskan

\frac{4}{4k-1}=\frac{1}{k}+\frac{1}{2k(4k-1)}+\frac{1}{2k(4k-1)}

\frac{4}{(4k-1)^{2}}=\frac{1}{k(4k-1)}+\frac{1}{2k(4k-1)^{2}}+\frac{1}{2k(4k-1)^{2}}

\frac{4}{4k+2}=\frac{1}{k+2}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(2k+1)}

\frac{4}{8k-3}=\frac{1}{3k-1}+\frac{1}{2(3k-1)}+\frac{1}{2(3k-1)(8k-3)}

\frac{4}{(8k-3)^{2}}=\frac{1}{(3k-1)(8k-3)}+\frac{1}{2(3k-1)(8k-3)}+\frac{1}{2(3k-1)(8k-3)^{2}}

Termotivasi dari Konjektur Erdős–Straus, Sierpinski menyatakan konjektur yang sejalan, yakni untuk setiap n\geq 5, maka pecahan 5/n dapat dituliskan sebagai jumlah dari tiga pecahan satuan, yakni

\frac{5}{n}=\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\frac{1}{x_{3}},  di mana 1<x_{1}<x_{2}<x_{3}

Hingga kini konjektur Sierpinski telah terbukti kebenarannya untuk n<1057438801.

Dua konjektur ini menjadi bukti bahwa masih banyak ‘PR’ yang mesti diselesaikan oleh para matematikawan. Jika Anda berhasil membuktikannya, maka hadiah besar akan menanti hidup Anda!


Sumber Pustaka

Lovasz, Laszlo, Imre Z. Ruzsa, dan Vera T. Sos. (2013). Erdos Centennial. Hungary: Janos Bolyai Mathematical Society and Springer – Verlag.

Salez, Serge E. (2014). The Erdős-Straus conjecture New modular equations and checking up to N = 1017

Jenber, N. Dagnachew. (2018). Solutions to Diophantine Equation of Erdos-Straus Conjecture

Sumber Gambar

Paul Erdős [https://www.researchgate.net/profile/Paul_Erdos2]

Ernst G. Straus [http://www.fanphobia.net/profiles/ernst-g-straus/]

Iklan

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout /  Ubah )

Foto Google

You are commenting using your Google account. Logout /  Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout /  Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout /  Ubah )

Connecting to %s