Jumlah Harmonik dan Konstanta Euler-Mascheroni

Sebagaimana yang telah kita pelajari di dalam kuliah kalkulus, deret harmonik merupakan deret divergen yang didefinisikan sebagai Dinamakan deret harmonik sebab dan seterusnya merupakan panjang gelombang nada pada senar yang bergetar, yakni suatu konsep dalam nada atau harmonik dalam musik. Bila kita ambil jumlah parsial dari deret harmonik, yakni maka disebut sebagai jumlah harmonik. Jumlah…

Teka-Teki 3 Orang Anak dan 17 Ekor Kuda

Sebelum wafat, seorang peternak berwasiat kepada ketiga orang anaknya untuk membagikan 17 ekor kuda yang ia pelihara kepada anak-anaknya tersebut. Dia meminta bahwa anak pertama mendapatkan 1/2 bagian, anak kedua mendapatkan 1/3 bagian, dan anak terakhir mendapatkan 1/9 bagian. Syarat dari pembagian warisan adalah dengan tidak menyakiti, memotong, serta membunuh kuda-kuda itu. Bagaimana caranya membagi…

Algoritma Greedy untuk Pecahan Mesir

Fibonacci telah menunjukkan bahwa setiap bilangan rasional positif dapat dituliskan sebagai pecahan Mesir, yakni jumlah dari pecahan-pecahan satuan yang berbeda. Lalu bagaimana caranya kita menemukan representasi pecahan Mesir dari suatu bilangan rasional? Salah satu caranya adalah dengan menerapkan identitas dekomposisi pecahan berikut Namun, menggunakan identitas di atas akan memerlukan waktu yang cukup lama jika nilai…

Konjektur Erdős–Straus dan Konjektur Sierpiński

Subjek mengenai pecahan Mesir telah menjadi perhatian para matematikawan hingga saat ini. Pada tahun 1202, Fibonacci (Leonardo Pisano) mengemukakan bahwa setiap bilangan rasional positif dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari pecahan-pecahan satuan, ,  di mana Kemudian pada tahun 1948, Paul Erdős and Ernst G. Straus mengemukakan suatu konjektur (dugaan) bahwa pecahan untuk dapat dituliskan sebagai jumlah dari tiga pecahan…

Pecahan Mesir

Horus, salah satu dewa yang dipuja di dalam agama Mesir Kuno, memiliki penampilan seperti orang berkepala elang dengan mahkota di atas kepalanya. Dia merupakan Dewa pelindung dan juga Dewa Nasional pertama di Mesir. Konon, mata dari Horus dicungkil dan dicabik-cabik oleh musuhnya bernama Seth (Dewa kegelapan). Akan tetapi matanya kemudian disembuhkan kembali oleh Thoth (Dewa…

Bilangan Genap yang Juga Merupakan Bilangan Ganjil

Berdasarkan sifatnya, bilangan bulat dapat digolongkan ke dalam dua bagian: bilangan bulat yang habis jika dibagi dengan 2, disebut sebagai bilangan genap, dan bilangan bulat yang bersisa 1 jika dibagi dengan 2, disebut sebagai bilangan ganjil. Penggolongan sifat dari bilangan bulat ke dalam genap atau ganjil disebut sebagai paritas. Seperti paritas dari bilangan genap adalah…

Tidak ada Bilangan Bulat di antara Dua Bilangan Bulat n dan n+1

Ambil selembar kertas dan pulpen di dekat Anda, lalu tuliskan bilangan bulat dari -10 hingga 10, sudah? Jika Anda perhatikan dua bilangan bulat yang saling berdekatan, misalnya, -9 dengan -8, maka tidak akan ditemukan bilangan bulat di antara keduanya. Begitu pun dengan dua bilangan 0 dan 1, seberapa kerasnya Anda berusaha menemukan bilangan bulat di…

Paradoks Dua Amplop

Bayangkan Anda sedang mengikuti acara super deal dua miliar yang sedang hits saat ini. Saat mengikuti acara tersebut, sang host meminta Anda untuk memilih dua amplop; amplop berwarna putih atau amplop berwarna biru. Salah satu amplop berisi uang senilai rupiah, dan amplop lainnya berisi dua kalinya, yakni 2 rupiah. Tidak ada yang tahu di mana…

Fungsi Logaritma Kompleks

Di dalam kuliah kalkulus, kita mengenal bahwa fungsi logaritma alami merupakan fungsi balikan dari eksponensial alami sehingga merupakan solusi tunggal yang memenuhi persamaan . Solusinya akan bernilai tunggal sebab merupakan fungsi satu-satu, yang artinya jika maka . Akan tetapi berbeda halnya dengan fungsi eksponensial bernilai kompleks, yakni , yang mana merupakan fungsi periodik dengan periode…

Bola Riemann; Bidang Kompleks yang Diperluas

Bidang kompleks dapat kita perluas dengan menambahkan unsur ke dalamnya, namun, tidak seperti di dalam bilangan riil yang diperluas, pada bidang kompleks kita tidak dapat mendefinisikan apa itu dan , melainkan hanya saja. Bagaimana cara mengonstruksi bidang kompleks yang diperluas tersebut? Pandang ruang Euclid di yang memiliki koordinat titik , di mana bidang- merupakan bidang…