Fungsi Logaritma Kompleks

Di dalam kuliah kalkulus, kita mengenal bahwa fungsi logaritma alami merupakan fungsi balikan dari eksponensial alami sehingga merupakan solusi tunggal yang memenuhi persamaan . Solusinya akan bernilai tunggal sebab merupakan fungsi satu-satu, yang artinya jika maka . Akan tetapi berbeda halnya dengan fungsi eksponensial bernilai kompleks, yakni . yang mana merupakan fungsi periodik dengan periode…

Bola Riemann; Bidang Kompleks yang Diperluas

Bidang kompleks dapat kita perluas dengan menambahkan unsur ke dalamnya, namun, tidak seperti di dalam bilangan riil yang diperluas, pada bidang kompleks kita tidak dapat mendefinisikan apa itu dan , melainkan hanya saja. Bagaimana cara mengonstruksi bidang kompleks yang diperluas tersebut? Pandang ruang Euclid di yang memiliki koordinat titik , di mana bidang- merupakan bidang…

Ketakterhinggaan dalam Bidang Kompleks

Kita sudah mengetahui bahwa sifat terurut lengkap tidak berlaku pada himpunan bilangan kompleks, yakni jika diberikan , maka tidak berlaku bahwa atau . Artinya di dalam himpunan kompleks kita tidak dapat membandingkan dua bilangan untuk mengetahui mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Lantas apa makna ketakterhinggaan dalam bidang kompleks jika sesuatu yang…

Penerapan Fungsi Pembangkit pada Barisan Fibonacci

Pada tanggal 23 November kemarin, kita memperingati hari Fibonacci. Mungkin Anda tidak sadar bahwa hari kemarin, tanggal 11-23, membentuk lima suku pertama barisan Fibonacci, yakni . Untuk memperingati hari Fibonacci, maka saya akan menuliskan artikel yang berkaitan dengan barisan Fibonacci. Dalam hal ini, kita akan melihat penerapan dari fungsi pembangkit untuk menentukan rumus eksplisit dari…

Fungsi Pembangkit

Misalkan diberikan suatu barisan . Apa yang bisa kita dapatkan dari barisan tersebut? Salah satunya adalah rumus umum dari barisannya. Seperti pada barisan bilangan ganjil , maka kita dapat menebak bahwa rumus umum dari barisan tersebut adalah dengan . Namun, bagaimana jika barisan memiliki pola yang cukup rumit sehingga tidak dapat dengan mudah kita temukan…

Permainan Zero-Sum

Di dalam teori permainan, zero-sum game atau permainan zero-sum dikenal sebagai permainan yang melibatkan dua pihak, di mana nilai kemenangan dari satu pihak sama besarnya dengan kekalahan dari pihak yang lain. Jadi jumlah total perolehan kemenangan serta kekalahan dari kedua pihak adalah sebesar nol. Contohnya seperti ini; semisal suatu permainan melibatkan dua orang bernama Marimar…

Pembuktian Teorema Dasar Aljabar (Via Teorema Liouville)

Jika diberikan suatu lapangan  yang memiliki sifat bahwa setiap polinomial dengan koefisien-koefisiennya anggota memiliki paling sedikit satu akar di , maka kita katakan tertutup secara aljabar. Tentunya tidak semua lapangan tertutup secara aljabar. Salah satu contohnya adalah lapangan bilangan riil, karena tidak setiap polinomial yang memiliki koefisien bilangan riil memiliki akar bilangan riil juga. Seperti…

Sophomore’s Dream; Impian Mahasiswa Tingkat Kedua

Setelah kita mewujudkan impian dari mahasiswa baru (Freshman’s Dream), yakni membuktikan bahwa persamaan berlaku benar, ternyata masalah Freshman’s Dream juga memiliki kelanjutannya, lho. Masalah ini dikenal dengan nama Sophomore’s Dream, atau dalam bahasa Indonesia diartikan sebagai impian mahasiswa tingkat kedua. Sophomore’s Dream berbicara tentang keterkaitan antara deret tak terhingga dengan integral, yang mana diberikan oleh persamaan…

Freshman’s Dream; Mimpi yang Menjadi Kenyataan

Mahasiswa baru kerap kali memiliki khayalan dan impian yang tidak sesuai dengan kenyataan. Misalnya saja di dalam matematika. Ketika mereka mendapatkan penghitungan yang melibatkan bentuk , maka tidak sedikit yang menjawab . Tentu hasil adalah hasil yang mereka impikan, karena rasanya bentuk tersebut cukup masuk akal dan lebih mudah untuk dikalkulasikan. Padahal kita tahu bahwa…

Apakah Bilangan Imajiner i Bernilai Positif ataukah Negatif?

Jika merupakan bilangan imajiner yang kita ketahui nilainya adalah , maka manakah pernyataan berikut yang tepat; ataukah ? Atau malah tidak mungkin keduanya? Yup! Jawaban yang benar adalah bilangan imajiner tidak mungkin bernilai positif juga tidak mungkin bernilai negatif. Mengapa demikian? Jika bernilai positif, yakni , maka kita dapat kalikan kedua ruas dengan sehingga menghasilkan Jika…