Pembuktian Teorema Dasar Aljabar (Via Teorema Liouville)

Jika diberikan suatu lapangan  yang memiliki sifat bahwa setiap polinomial dengan koefisien-koefisiennya anggota memiliki paling sedikit satu akar di , maka kita katakan tertutup secara aljabar. Tentunya tidak semua lapangan tertutup secara aljabar. Salah satu contohnya adalah lapangan bilangan riil, karena tidak setiap polinomial yang memiliki koefisien bilangan riil memiliki akar bilangan riil juga. Seperti…

Freshman’s Dream; Mimpi yang Menjadi Kenyataan

Mahasiswa baru kerap kali memiliki khayalan dan impian yang tidak sesuai dengan kenyataan. Misalnya saja di dalam matematika. Ketika mereka mendapatkan penghitungan yang melibatkan bentuk , maka tidak sedikit yang menjawab . Tentu hasil adalah hasil yang mereka impikan, karena rasanya bentuk tersebut cukup masuk akal dan lebih mudah untuk dikalkulasikan. Padahal kita tahu bahwa…

Apakah √2^√2 Bilangan Rasional ataukah Irasional?

Kita sudah mengetahui bahwa merupakan bilangan irasional, yang artinya tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk perbandingan di mana . Namun apa yang terjadi jika kita pangkatkan dengan lagi? Apakah merupakan bilangan rasional ataukah irasional? Jalan pintas untuk mengetahui jawaban dari pertanyaan tersebut adalah dengan memandang  Teorema Gelfond–Schneider. yang berbunyi Jika dan merupakan bilangan aljabar dengan , dan…

Membantah Pythagoras

Dalil Pythagoras mengatakan kepada kita bahwa dalam suatu segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat dari sisi-sisi yang saling tegak lurus, dituliskan . Nah, dengan menggunakan konsep yang sama seperti pada postingan sebelumnya (baca di sini), kita akan membantah dalil Pythagoras tersebut. Perhatikan bahwa panjang garis berwarna merah dalam segitiga berikut adalah sebesar…

Masalah Panjang Tangga; Bukti Bahwa √2=2

Salah satu masalah menarik terkait konsep limit adalah masalah penghitungan panjang tangga yang konvergen menuju sisi miring segitiga siku-siku. Di dalam kesimpulan akhirnya, kita akan membuktikan bahwa . Mengapa bisa demikian? Bayangkan kita sedang menggambar sebuah segitiga siku-siku yang memiliki tinggi dan alas dengan masing-masing panjangnya sebesar satuan, seperti pada gambar berikut Berdasarkan teorema Pythagoras,…

Persamaan Fungsional dan Solusinya

Jika sebelumnya kita pernah belajar menentukan nilai dari variabel yang memenuhi persamaan atau atau lainnya, maka berbeda halnya dengan persamaan fungsional. Persamaan fungsional merupakan persamaan yang tidak diketahui bentuk fungsinya seperti apa, sehingga yang akan dicari adalah semua fungsi yang memenuhi kondisi yang diberikan. Contoh dari persamaan fungsional yang sudah tidak asing lagi bentuknya adalah…

Bukti Geometri (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2

Ada satu gambar menarik di mana di dalamnya terdapat banyak makna. Perhatikan gambar persegi berikut: Apa makna tersirat dari gambar di atas? Luas persegi terbesar, yakni setara dengan gabungan dari daerah berwarna hijau dengan dua daerah berwarna putih dan daerah berwarna biru, jadi dapat dituliskan, Tidak hanya itu, gambar tersebut juga membuktikan bahwa dan juga…

Bukti Geometri a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)

Ketika menduduki bangku SMP, kita belajar bahwa bentuk pemfaktoran dari adalah . Bukti secara aljabarnya pun sudah pernah dipelajari. Namun pembuktian tersebut akan jauh lebih menarik jika dibuktikan secara geometri, yang mana jarang diberikan oleh guru-guru kita di sekolah. Nah, bagaimana cara membuktikan persamaan secara geometri? Pertama-tama perhatikan gambar persegi berikut Luas daerah dari segi…

Kekonvergenan Barisan via Ketaksamaan AM-GM

Banyak masalah matematika yang dapat diselesaikan dengan menerapkan ketaksamaan AM-GM, salah satunya adalah untuk menunjukkan kemonotonan barisan. Pada pembahasan kali ini, kita akan menunjukkan kemonotonan barisan via ketaksamaan AM-GM dari barisan dan , yang mana sudah kita ketahui bahwa limit dari barisan dan adalah . Sekarang kita ingat kembali untuk setiap berlaku kesamaan akan terjadi…

Keekuivalenan Ketaksamaan AM-GM dengan Ketaksamaan Bernoulli

Masih membahas seputar ketaksamaan AM-GM, sebelumnya kita telah membuktikan ketaksamaan ini secara aljabar dan geometri, dan ternyata ada lebih dari 70 pembuktian ketaksamaan AM-GM hingga kini, wow! Ketaksamaan AM-GM ini ternyata ekuivalen dengan ketaksamaan yang telah dibuktikan oleh Isaac Barrow (1670) dan Jacob Bernoulli (1689), yang dikenal sebagi ketaksamaan Bernoulli, dan berbunyi: Untuk setiap dan…