Fungsi Logaritma Kompleks

Di dalam kuliah kalkulus, kita mengenal bahwa fungsi logaritma alami merupakan fungsi balikan dari eksponensial alami sehingga merupakan solusi tunggal yang memenuhi persamaan . Solusinya akan bernilai tunggal sebab merupakan fungsi satu-satu, yang artinya jika maka . Akan tetapi berbeda halnya dengan fungsi eksponensial bernilai kompleks, yakni , yang mana merupakan fungsi periodik dengan periode…

Bola Riemann; Bidang Kompleks yang Diperluas

Bidang kompleks dapat kita perluas dengan menambahkan unsur ke dalamnya, namun, tidak seperti di dalam bilangan riil yang diperluas, pada bidang kompleks kita tidak dapat mendefinisikan apa itu dan , melainkan hanya saja. Bagaimana cara mengonstruksi bidang kompleks yang diperluas tersebut? Pandang ruang Euclid di yang memiliki koordinat titik , di mana bidang- merupakan bidang…

Ketakterhinggaan dalam Bidang Kompleks

Kita sudah mengetahui bahwa sifat terurut lengkap tidak berlaku pada himpunan bilangan kompleks, yakni jika diberikan , maka tidak berlaku bahwa atau . Artinya di dalam himpunan kompleks kita tidak dapat membandingkan dua bilangan untuk mengetahui mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil. Lantas apa makna ketakterhinggaan dalam bidang kompleks jika sesuatu yang…

Pembuktian Teorema Dasar Aljabar (Via Teorema Liouville)

Jika diberikan suatu lapangan  yang memiliki sifat bahwa setiap polinomial dengan koefisien-koefisiennya anggota memiliki paling sedikit satu akar di , maka kita katakan tertutup secara aljabar. Tentunya tidak semua lapangan tertutup secara aljabar. Salah satu contohnya adalah lapangan bilangan riil, karena tidak setiap polinomial yang memiliki koefisien bilangan riil memiliki akar bilangan riil juga. Seperti…

Apakah Bilangan Imajiner i Bernilai Positif ataukah Negatif?

Jika merupakan bilangan imajiner yang kita ketahui nilainya adalah , maka manakah pernyataan berikut yang tepat; ataukah ? Atau malah tidak mungkin keduanya? Yup! Jawaban yang benar adalah bilangan imajiner tidak mungkin bernilai positif juga tidak mungkin bernilai negatif. Mengapa demikian? Jika bernilai positif, yakni , maka kita dapat kalikan kedua ruas dengan sehingga menghasilkan Jika…

Pembuktian Identitas Trigonometri Via Rumus Euler

Sekarang kita akan coba ‘menikmati’ aplikasi dari rumus Euler ini, khususnya dalam membuktikan identitas-identitas trigonometri.Pandang sifat dari eksponen berikut berdasarkan rumus Euler, selanjutnya, kita kumpulkan bagian riil dan bagian imajinernya jadi kita peroleh dan Double jackpot~ kita membuktikan langsung dua identitas trigonometri dalam satu penjabaran rumus Euler. Dengan memandang kembali sifat eksponen , kita dapatkan persamaan…

Rumus Euler dan Interpretasi Geometrinya

Ada satu rumus cantik di dalam bidang kompleks, yaitu Rumus Euler, yang mana namanya diambil dari seorang Matematikawan pada abad ke-18, Leonhard Euler. Untuk mengenal rumus Euler ini, diperlukan pengetahuan lebih lanjut mengenai deret Maclaurin dari fungsi eksponensial dan fungsi trigonometri. Tinjau kembali deret Maclaurin dari fungsi dan berikut ,    ,    Jadi    …

Perkalian Bilangan Kompleks sebagai Transformasi Geometri

Jika diberikan dua bilangan kompleks dan , kita dapat mengalikan kedua bilangan tersebut baik dalam bentuk rektangular maupun bentuk polarnya. Oh ya, sebelumnya perlu diketahui bahwa bilangan kompleks juga dapat dipandang sebagai suatu vektor di . Jadi jika kita punya , maka kita dapat memandang bilangan tersebut sebagai vektor pada bidang. Sekarang untuk memahami lebih…

Apa Motivasi Kita Mempelajari Bilangan Imajiner?

Bagi yang baru mempelajari bilangan kompleks, mungkin bertanya-tanya, apa sih motivasi mempelajari bilangan imajiner? Jika bilangan riil yang di dalamnya terdapat himpunan bilangan asli dapat kita gunakan untuk mencacah atau menghitung banyaknya objek, lantas apa manfaatnya bilangan imajiner dalam kehidupan nyata? Sekarang mari kita pahami terlebih dahulu bilangan riil. Apakah bilangan dan bilangan riil lainnya…

Mengenal Bilangan Kompleks

Ketika mempelajari matematika, kita akan bertemu dengan persamaan kuadrat yang tidak memiliki solusi bilangan riil, contohnya . Tidak ada solusi bilangan riil sehingga memenuhi , karena enggak mungkin kan suatu bilangan nyata jika dikuadratkan menghasilkan nilai yang negatif?. Namun, solusi dari persamaan tersebut akan ada di suatu sistem bilangan yang baru, yang dinamakan sistem bilangan…