Apakah √2^√2 Bilangan Rasional ataukah Irasional?

Kita sudah mengetahui bahwa merupakan bilangan irasional, yang artinya tidak dapat dituliskan ke dalam bentuk perbandingan di mana . Namun apa yang terjadi jika kita pangkatkan dengan lagi? Apakah merupakan bilangan rasional ataukah irasional? Jalan pintas untuk mengetahui jawaban dari pertanyaan tersebut adalah dengan memandang  Teorema Gelfond–Schneider. yang berbunyi Jika dan merupakan bilangan aljabar dengan , dan…

L∞-norm pada Vektor

Perhatikan kembali definisi secara umum dari norm berikut ini Ketika berbicara , maka yang sedang kita bicarakan adalah persamaan Tapi, tunggu dulu, apa maksudnya persamaan di atas? Hmm.. rasanya kita tidak dapat menjelaskan secara intuisi arti dalam persamaan tersebut. Namun kita sepakati bahwa definisi dari norm dari vektor sebagai nilai maksimum dari harga mutlak setiap elemen…

Apa itu L0-norm, L1-norm dan L2-norm?

Jika Anda membaca artikel atau paper di ranah aljabar linier atau analisis fungsional, maka akan sering dijumpai istilah norm di dalamnya. Singkatnya, norm dapat diartikan sebagai jarak atau panjang. Jadi ketika kita berbicara mengenai norm di dalam bilangan real, maka kita berbicara tentang jarak atau nilai mutlak dari bilangan real. Jika di dalam ruang vektor, maka…

Jumlah Cesàro

Misalkan merupakan suatu barisan dan adalah jumlah parsial dari deret . Deret  dikatakan memiliki jumlah Cesàro jika nilai rata-rata dari jumlah parsial mendekati , dituliskan Jadi dapat kita simpulkan bahwa jumlah Cesàro dari deret tak terhingga merupakan rata-rata aritmatika dari jumlah parsial ke- deret tersebut ketika . Untuk melihat contoh sederhana dari jumlah Cesàro, kita dapat pandang deret…

Deret Grandi; Deret Divergen yang Memiliki Jumlah

Masalah yang sering menimbulkan kontradiksi biasanya berkaitan dengan konsep ketakterhinggan. Misalnya saja pada deret tak terhingga berikut ini Deret tersebut jelas divergen, sebab barisan jumlah parsialnya, yakni , tidak konvergen karena nilainya berselang-seling di sekitar dan . Namun jika suku-suku pada deret tersebut kita kelompokkan menjadi seperti berikut Maka jumlah deretnya adalah . Akan tetapi…

Maksimum dan Minimum dari Dua Bilangan Riil

Misalkan diberikan sebarang . Untuk menentukan rumus maksimum dan minimum dari dua bilangan riil, yakni maks dan min, maka ada dua kasus yang perlu kita perhatikan; kasus untuk dan juga kasus untuk . Sekarang mari kita tinjau masing-masing kasus tersebut: Jika , maka maks dan . Karenanya . Dari sini diperoleh maks Jika , maka…

Fungsi yang Kontinu di Satu Titik Mengimplikasikan Kontinu di ℝ

Perhatikan kembali persamaan fungsional Cauchy berikut Ada satu sifat menarik dari fungsi yang memenuhi persamaan di atas, yaitu Jika kontinu di , maka kontinu di setiap Bukti: misalkan kontinu di titik sehingga memenuhi dan untuk setiap berlaku . Akan kita tunjukkan untuk sebarang maka . Pertama-tama tinjau persamaan berikut dapat dikatakan bahwa akan dekat dengan…

Persamaan Fungsional Cauchy

Misalkan . Persamaan berikut dikenal sebagai persamaan fungsional Cauchy. Setiap fungsi yang menjadi solusi dari persamaan tersebut mestilah memenuhi pernyataan-pernyataan berikut: . Bukti: untuk maka       merupakan fungsi ganjil sehingga memenuhi . Bukti: berdasarkan persamaan diperoleh           jadi merupakan fungsi ganjil, sebab       Tinjau persamaan berikut  …

Persamaan Fungsional dan Solusinya

Jika sebelumnya kita pernah belajar menentukan nilai dari variabel yang memenuhi persamaan atau atau lainnya, maka berbeda halnya dengan persamaan fungsional. Persamaan fungsional merupakan persamaan yang tidak diketahui bentuk fungsinya seperti apa, sehingga yang akan dicari adalah semua fungsi yang memenuhi kondisi yang diberikan. Contoh dari persamaan fungsional yang sudah tidak asing lagi bentuknya adalah…